Math 为什么这些略有不同的寻根方法会产生不同的结果？

考虑计算第五根的这两种稍有不同的方法：

(define (fifth-root-right x)
  (fixed-point-of-transform (lambda (y) (/ x (expt y 4)))
                            (repeated average-damp 2)
                            1.0))

(define (fifth-root-wrong x)
  (fixed-point (repeated 
                (average-damp (lambda (y) (/ x (expt y 4)))) 
                2)
               1.0))

由于x的第五根是映射y->x/（y^4）的一个固定点，所以两者都试图通过对固定点的平均阻尼搜索来计算第五根。我已经定义了

(define (average-damp f)
  (lambda (x) (average x (f x))))
(define tolerance 0.00001)
(define (fixed-point f first-guess)
  (define (close-enough? v1 v2)
    (< (abs (- v1 v2)) tolerance))
  (define (try guess)
    (let ((next (f guess)))
      (if (close-enough? guess next)
          next
          (try next))))
  (try first-guess))
(define (fixed-point-of-transform g transform guess)
  (fixed-point (transform g) guess))
(define (repeated f n)
  (if (= n 1) 
      f
      (compose f (repeated f (- n 1)))))
(define (compose f g) (lambda (x) (f (g x))))

为什么第二种方法无法正确计算第五根？更奇怪的是，如果我们在第四根或第三根上尝试这种错误的方法，它会正确工作：

(define (fourth-root x)
  (fixed-point (repeated 
                (average-damp (lambda (y) (/ x (expt y 3)))) 
                2)
               1.0))

(define (cube-root x)
  (fixed-point (repeated 
                (average-damp (lambda (y) (/ x (expt y 2)))) 
                2)
               1.0))


> (fourth-root 16)
1.982985155172348
> (cube-root 8)
2.0000009087630515

---

作为参考，本代码试图解决计算机程序的结构和解释问题。现在我有了正确的方法，我的代码可以工作了，但我不明白为什么我的错误方法是错误的。

本质的区别在于什么函数被重复了两次。在正确的方法中，

平均阻尼

应用了两次，产生了更大阻尼的净效果

（（重复平均阻尼2）f）

从数学上减少到

（lambda（x）（+（*0.75x）（*0.25（fx）））

（如果我的语法不正确，我的lisp非常非常生锈，我深表歉意）。这使得算法不易受到变换的剧烈波动的影响

---

但是，第二种方法应用了两次

（平均阻尼（lambda（y）（/x（expt y 2）））

——也就是说，它阻尼转换一次，然后重复生成的函数。一次应用

平均阻尼

仅足以防止序列发散，但不足以实际使其收敛。它实际上收敛到振荡状态，在

1.672645084943273

和

2.8804350135298153

之间来回反弹。但是，阻尼变换在每一步都应用两次，因此

定点

只会看到序列的每一个其他元素-该子序列收敛到后者，即使整个序列无法收敛。

您的三阶和四阶示例似乎是正确方法的副本，而不是错误方法。谢谢，修正了现在对与错的标签。另外，我怀疑它对低阶有效的原因仅仅是因为低阶需要较少的阻尼，因此应用较少阻尼的另一个版本仍然能够通过。如果你进一步增加阶数，你可能会发现需要更多的阻尼来抵消增加的向无穷远发射的趋势。这是正确的。当我做同样的问题时，我发现当n加倍时，你需要将平均阻尼的数量增加1@蜥蜴比尔♦: 好帖子。我很确定它是这样工作的，因为这个方法的步骤是一个非常迂回的近似牛顿-拉斐逊步骤的方法。重复平均阻尼m次与计算f（y）=（1-1/2^m）y+x/（2^m y^（n-1））相同。设m为log2（n）使阶跃函数f（y）=（1-1/n）y+x/（ny^（n-1）），这正是牛顿·拉弗森将使用的函数。使用这一层使它成为一个（足够好的）近似值，所以我认为你在文章中的直觉是正确的。

(define (fourth-root x)
  (fixed-point (repeated 
                (average-damp (lambda (y) (/ x (expt y 3)))) 
                2)
               1.0))

(define (cube-root x)
  (fixed-point (repeated 
                (average-damp (lambda (y) (/ x (expt y 2)))) 
                2)
               1.0))


> (fourth-root 16)
1.982985155172348
> (cube-root 8)
2.0000009087630515