Math 随时间应用变换矩阵

我有一个初始框架和一个围绕一些信息的边界框。我有一个变换矩阵

T

，我想用它来变换这个边界框

我可以很容易地应用转换并在输出帧中绘制它，但是我想在一系列

x

帧上应用转换，有人能建议一种方法吗

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Aly

基于@egor-n comment，您可以计算R=T^{1/x}，并从第i帧处的边界框计算第i+1帧上的边界框

B_{i+1} = R * B_{i}

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使用B_{0}创建初始边界框。根据T的精确形式，我们可以讨论如何计算R。

仿射变换有多种方法-将仿射变换矩阵分解为平移、旋转、缩放和剪切矩阵的乘积，并对每个矩阵的参数进行线性插值（例如，R的旋转角等）

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但对于单应矩阵，并没有单一的解决方案，所以我们可以找到一些“好”的近似值（看看那篇文章中的复杂数学）。可能，对可能的转换的一些限制可以简化问题。

您可以通过添加域大于零但小于1的变量，在一定数量的帧上对转换进行参数化

Let t be the frame number
Let T be the total number of frames
Let P be the original location and orientation of the object
Let theta be the total rotation angle
and translation be the vector [x,y]'

二维变换变为：

T(P|t) = R(t)*P +(t*[x,y]')/T

 where R(t) = {{Cos((theta*t)/T),-Sin((theta*t)/T)},{Sin((theta*t)/T),Cos((theta*t)/T)}}

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因此，在第

t\u n

帧，您将变换t（t）应用于时间t\u 0=0时对象的位置（这相当于不进行变换）

这里有一些您可以尝试的稍微不同的东西。设

M

为表示最终转换的矩阵。您可以尝试使用以下公式在

I

（单位矩阵，对角线上为1，其他地方为0）之间插值

M(t) = exp(t * ln(M))

其中，

t

是从0到1的时间，

M（0）=I

，

M（1）=M

，

exp

是通常无限级数给出的矩阵的指数函数，

ln

是通常无限级数给出的矩阵的类似自然对数函数

公式的正确性取决于

M

表示的转换类型以及中间步骤中允许的转换类型。该公式适用于刚性运动。对于其他类型的转换，可能会发生各种不好的事情，包括对数级数的发散。在其他情况下可以使用其他公式；如果你使用的是非刚体运动的变换，请告诉我，我可以给出一些其他公式

指数函数和对数函数可以在矩阵库中找到。否则，它们可以很容易地实现为无穷级数的部分和

在旋转的情况下，上述方法应给出与某些四元数方法相同的结果。四元数方法在可用时可能更快

更新

我看到您在其他地方提到，您的变换是单应性（透视性），因此我上面建议的刚性运动方法将不起作用。相反，您可以使用中概述的不同但相关的方法。它是这样的：用一个更高维的矩阵来表示你的变换。对矩阵进行缩放，使其行列式等于1。调用生成的矩阵

G

。您希望通过透视法从单位矩阵

I

插值到

G

下面，让

M^T

作为

M

的转置。让函数

expp

由

expp(M) = exp(-M^T) * exp(M+M^T)

您需要在

G

处找到该函数的倒数；换句话说，你需要解这个方程

expp(M) = G

其中

G

是行列式为1的变换矩阵。调用结果

M=logp（G）

。这个方程可以通过标准的数值技术来求解，也可以使用Matlab或其他数学软件。这有点费时和复杂，但你只需要做一次

然后通过以下公式计算变换序列：

G(t) = expp(t * logp(G))

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其中，

t

以1/k的步长从0到1变化，其中k是所需的帧数。

尝试将每个帧作为一个变换，该变换等于

i/x*t

，其中

i

是帧，

x

是总帧数。