Math 创建简单MIDI速度曲线的公式

我试图找出一个简单的数学公式，它允许我将各种速度曲线应用于传入的MIDI值。在下图中，起始x，y为（0,0），结束x，y为（127127）。我试图得到一个单一变量的公式，这将允许我产生简单的扩展或收缩曲线总是在中间颠簸（通过变量的程度）。我的输入值将介于0和127之间，而我的输出值将始终介于0和127之间。这看起来应该很容易，但我的大学微积分现在已经不在我的掌握之中了

---

让我们首先将四个角标记为：

S=（0,0）

E=（127127）

U=（0127）

V=（127,0）

你正在寻找一个圆方程，它通过E，S和U和V之间直线上的第三个点Z。让我们把它标记为Z：

Z（t）=t*U+（1-t）*V

我将使用两条弦的垂直平分线在中心相交的事实

平分线B1和B2为：

B1=（Xz/2，Yz/2）

B2=（（127+Xz）/2，（127+Yz）/2）

垂直度的斜率与弦的斜率成负反比，因此：

斜率1=-（127 Xz）/（127 Yz）

斜率2=-Xz/Yz

使用点和坡度的直线方程

L1=y=Slope1*（x-B1x）+B1y

L2=y=Slope2*（x-B2x）+B2y

圆C的中心是它们的交点：

Cx=[B2y-B1y+Slope1*B1x-Slope2*B2x]/[Slope1-Slope2]

Cy=[Slope2*（B2y-B1y+Slope1*B1x-Slope2*B2x）]/[Slope1-Slope2]-Slope2*B2x+B2y

我们有圆方程的左边：

（x-Cx）^2+（y-Cy）^2=R^2

缺少的是半径。但它只是C和任何初始点之间的距离。从S计算是最简单的，因为它是（0,0）：

R=平方根（[Cx Sx]^2+[Cy Sy]^2）=平方根（Cx^2+Cy^2）

因此，最后，如果替换所有定义（在程序中可能比在此处键入更容易），则将获得单个变量的函数

t

：

（x-Cx）^2+（y-Cy）^2=Cx^2+Cy^2

---

---

注意：t=0.5会有一条直线，但是可以很容易地替换t'=t-0.5，并且只使用t'

让我们从标记四个角开始：

S=（0,0）

E=（127127）

U=（0127）

V=（127,0）

你正在寻找一个圆方程，它通过E，S和U和V之间直线上的第三个点Z。让我们把它标记为Z：

Z（t）=t*U+（1-t）*V

我将使用两条弦的垂直平分线在中心相交的事实

平分线B1和B2为：

B1=（Xz/2，Yz/2）

B2=（（127+Xz）/2，（127+Yz）/2）

垂直度的斜率与弦的斜率成负反比，因此：

斜率1=-（127 Xz）/（127 Yz）

斜率2=-Xz/Yz

使用点和坡度的直线方程

L1=y=Slope1*（x-B1x）+B1y

L2=y=Slope2*（x-B2x）+B2y

圆C的中心是它们的交点：

Cx=[B2y-B1y+Slope1*B1x-Slope2*B2x]/[Slope1-Slope2]

Cy=[Slope2*（B2y-B1y+Slope1*B1x-Slope2*B2x）]/[Slope1-Slope2]-Slope2*B2x+B2y

我们有圆方程的左边：

（x-Cx）^2+（y-Cy）^2=R^2

缺少的是半径。但它只是C和任何初始点之间的距离。从S计算是最简单的，因为它是（0,0）：

R=平方根（[Cx Sx]^2+[Cy Sy]^2）=平方根（Cx^2+Cy^2）

因此，最后，如果替换所有定义（在程序中可能比在此处键入更容易），则将获得单个变量的函数

t

：

（x-Cx）^2+（y-Cy）^2=Cx^2+Cy^2

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注意：t=0.5会得到一条直线，但可以很容易地替换t'=t-0.5，只使用t'

我想要一条简单的二次贝塞尔曲线，从p0（0,0）到p2（127127），该曲线基于一个范围介于（0127）和（127,0）之间的可移动控制点p1。我希望控制点的位置由偏差变量确定。这就是我如何根据偏差变量是一个介于-100和100之间的数字（0是一条线性线，负边代表pic2，正边代表pic3）来解决它的方法

//
///基于速度曲线转换MIDI值
/// 
///要转换的值
///从-100到100的线性线的偏差量
私有int值（int值，双偏差）
{
如果（偏差<-100 | |偏差>100）
抛出新ArgumentException（“值必须介于-100和100之间”，“偏差”）；
var minMidiValue=0d；
var maxMidiValue=127d；
var中值=63.5d；
//这是二次贝塞尔曲线的控制点
//我们希望该值介于0（最小值）和63.5（最大值）之间
var控制点X=中间值+（（偏差/100）*中间值）；
//获取传入值相对于最大值的百分比位置
var t=（双）值/maxmidi值；
//二次贝塞尔曲线公式
//B（t）=（1-t）*（1-t）*p0）+（2*（1-t）*t*p1）+（t*t*p2）
//t=曲线上介于（0和1）之间的位置
//p0=最小值（0）
//p1=控制点X（贝塞尔控制点）
//p2=最大值（127）
//公式现在可以简化为：
//B（t）=（1-t）*（1-t）*minMidiValue）+（2*（1-t）*t*控制点x）+（t*t*最大midivalue）
//与我们价值观的偏差是什么？
var delta=（int）数学圆（（2*（1-t）*t*controlPointX）+（t*t*maxMidiValue））；
返回值（值-增量）+值；
}

这将导致值曲线介于以下三个值之间

    /// <summary>
    /// Converts a MIDI value based on a velocity curve
    /// </summary>
    /// <param name="value">The value to convert</param>
    /// <param name="deviation">The amount of deviation from a linear line from -100 to 100</param>
    private int ConvertMidiValue(int value, double deviation)
    {
        if (deviation < -100 || deviation > 100)
            throw new ArgumentException("Value must be between -100 and 100", "deviation");

        var minMidiValue = 0d;
        var maxMidiValue = 127d;
        var midMidiValue = 63.5d;

        // This is our control point for the quadratic bezier curve
        // We want this to be between 0 (min) and 63.5 (max)
        var controlPointX = midMidiValue + ((deviation / 100) * midMidiValue);

        // Get the percent position of the incoming value in relation to the max
        var t = (double)value / maxMidiValue;

        // The quadratic bezier curve formula
        // B(t) = ((1 - t) * (1 - t) * p0) + (2 * (1 - t) * t * p1) + (t * t * p2)

        // t  = the position on the curve between (0 and 1)
        // p0 = minMidiValue (0)
        // p1 = controlPointX (the bezier control point)
        // p2 = maxMidiValue (127)

        // Formula can now be simplified as:
        // B(t) = ((1 - t) * (1 - t) * minMidiValue) + (2 * (1 - t) * t * controlPointX) + (t * t * maxMidiValue)

        // What is the deviation from our value?
        var delta = (int)Math.Round((2 * (1 - t) * t * controlPointX) + (t * t * maxMidiValue));

        return (value - delta) + value;
    }