Math 如何解决以下递归关系

如何解决以下递归关系

f(n+2) = 2*f(n+1) - f(n) + 2  where n is even
f(n+2) = 3*f(n)               where n is odd
f(1) = f(2) = 1

对于奇数

n

I，我可以解出递推，结果是一个公比为3的几何级数

---

当

n

为偶数时，我可以通过替换

f（n）=r^n

找到并求解递推关系的齐次部分。因此，解决方案是

r=1

。因此，解决方案是

c1+c2*n

。但是我如何解这个积分部分呢？我走对了吗？上述解决方案还有其他方法吗？

奇数

n

的重复性很容易通过您尝试的替换来解决：

将其替换为偶数

n

：

---

尝试#1

对表格进行一般替换：

注意，指数是

n/2

，而不是基于奇数递归的

n

，但这纯粹是一个选择问题

匹配相同类型的术语：

但此解不适用于边界条件

f（2）=1

：

---

尝试#2

事实证明，需要第二个指数项：

与前面一样，其中一个指数项需要匹配

3^（n/2）

：

最后一个方程有解

d=0，-1

；显然，这只是一个非常重要的问题 是有用的：

所有

n的最终解决方案≥ 2

：

---

替代方法

更长，但（可能，至少我发现）更直观-扩展重复

m

次：

观察模式：

奇数次的扩展

m

会出现相加因子2，但偶数

m

会取消相加因子2

对于奇数

m

，每次展开都会加上一个系数

2*3^（n/2-m）

，对于偶数

m

，则减去该系数

对于偶数

m

，每次展开也会增加一个系数

f（n-2m）

，对于奇数

m

，则减去该系数

结合这些观察结果，为

m

-th展开式编写一个通用的闭式表达式：

在最后一步中使用几何级数的标准公式

递归在

f（2）=1处停止：


与之前相同的结果。
您需要另一个边界条件，因为在特定积分中有两个系数，例如，
f（3）
？f（3）或任何奇数的值由另一个递推关系f（n+2）=3*f（n）计算，其中n为奇数，f（1）=1。因此，f（3）=3。
r^n
是一个正确的起点，但您必须始终使替换形式尽可能通用-尤其是如果存在不依赖于输入参数的术语（
+2
）.我投票结束这个问题，因为它与数学有关，而不是直接与编程/编码/编程工具/软件算法有关。