Math 比较排序-理论_Math_Sorting_Comparison_Theory_Lower Bound

Math 比较排序-理论

math sorting

Math 比较排序-理论,math,sorting,comparison,theory,lower-bound,Math,Sorting,Comparison,Theory,Lower Bound,有人能给我解释一下这个问题的解决办法吗假设给您一个由n个元素组成的排序序列。输入序列由n=k个子序列组成，每个子序列包含k个元素。给定元素中的元素子序列都小于后续子序列中的元素，并且大于前面子序列中的元素。因此，需要做的就是排序长度n的整个序列是对每个n=k中的k个元素进行排序子序列。显示比较次数的n lg k下限需要解决排序问题的这种变体解决方案：设S为n个元素的序列，被划分为n/k个子序列，每个子序列的长度为k 其中，任何子序列中的所有元素都大于所有元素前一子序列的，小于

有人能给我解释一下这个问题的解决办法吗

假设给您一个由n个元素组成的排序序列。输入序列由n=k个子序列组成，每个子序列包含k个元素。给定元素中的元素子序列都小于后续子序列中的元素，并且大于前面子序列中的元素。因此，需要做的就是排序长度n的整个序列是对每个n=k中的k个元素进行排序子序列。显示比较次数的n lg k下限需要解决排序问题的这种变体

解决方案：

设S为n个元素的序列，被划分为n/k个子序列，每个子序列的长度为k 其中，任何子序列中的所有元素都大于所有元素前一子序列的，小于后一子序列的所有元素的随后

主张

任何基于比较的排序算法对S进行排序都必须在最坏的情况

证明

首先请注意，正如提示中指出的，我们无法证明较低的通过将排序每个子序列的下界相乘来绑定。这只能证明没有更快的算法对子序列进行排序独立地。这不是我们要证明的；我们不能提出任何建议额外的假设

现在，考虑SH的任何比较排序的高度H的决策树。每个子序列的元素可以是任意顺序，任意k！排列对应于子序列的最终排序顺序。而且，因为有n/k这样的子序列，每个子序列可以是任意顺序，有（k！）^n/k个置换可能与某些输入顺序的排序相对应的。因此，任何决定用于排序的树必须至少有（k！）^n/k个叶。因为二叉树的高度是h 叶数不超过2^h，我们必须有2^h≥ （k！）^（n/k）或h≥ lg（（k！）^n/k）。我们因此获得

     h ≥ lg((k!)^n/k)          -- unbalanced parens - final one added?
       = (n/k) lg(k!)
       ≥ (n/k) lg((k/2)^k/2)
       = (n/2) lg(k/2)

第三行来自k！其k/2最大项至少各为k/2。（这里我们隐式假设k是偶数。我们可以根据地板和天花板进行调整如果k是奇数。）

因为在任何决策树中都至少存在一条路径来对具有长度的S进行排序至少（n/2）lg（k/2），任何基于比较的排序的最坏情况运行时间 S是（nlgk）的算法

有人能带我完成代码块中的步骤吗？尤其是当lg k！变成lg（（k/2）^k/2）。

我已将数学结果转载如下：

（1） h≥ lg（k！n/k）

（2） =（n/k）lg（k！）

（3） ≥ （n/k）lg（（k/2）k/2）

（4） =（n/2）lg（k/2）

让我们来看看这个。从第（1）行到第（2）行使用对数的属性。类似地，从第（3）行到第（4）行使用对数的属性和（n/k）（k/2）=（n/2）这一事实。所以技巧步骤是从第（2）行到第（3）行

这里的索赔如下：

为了所有的k，k！≥ （k/2）（k/2）

直觉上，想法如下。考虑K＝！k（k-1）（k-2）…（2）（1）。如果您注意到，这些术语中有一半大于k/2，另一半则更小。如果我们去掉所有小于k的项，我们得到（接近）以下结果：

k！≥ k（k-1）（k-2）…（k/2）

现在，我们有了k/2≥ k、所以我们有

k！≥ k（k-1）（k-2）…（k/2）≥ （k/2）（k/2）…（k/2）

这是（k/2）和自身（k/2）的乘积，所以它等于（k/2）k/2。这个数学并不精确，因为奇数和偶数的逻辑有点不同，但从本质上讲，利用这个概念，你可以得到一个关于早期结果证明的草图

总结：从（1）到（2）和从（3）到（4）使用对数的性质，从（2）到（3）使用上述结果

希望这有帮助

我已将数学重印如下：