Math 求递推W（n）=W（n/2）+；n日志n？

请验证我的逻辑，看看我尝试的是有效的还是可疑的

W(n) = W(n/2) + nlg(n)

W(1) = 1

n =2^k 

通过尝试这种模式

line 1 : W (2^k) = W(2^k-1) + nlgn

line 2 :         = W(2^k-2) + nlgn + nlgn

...

line i :         = W(2^k-i) + i*nlgn

然后为我解决剩下的问题

我只是想确定，如果我在一个地方（第1行）用2k代替

n lg n

，而不是在另一个地方，这是很酷的

我发现用

2^k代替2^k lg（2^k）

会变得非常油腻

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任何想法都是受欢迎的（特别是如果我应该使用2^k，如果我应该，那么你会如何建议解决方案）

根据需要在n和2k之间来回切换是可以的，因为你假设n=2k。然而，这并不意味着你上面所说的是正确的。请记住，当n减小时，n log n的值也会不断减小，因此语句不是这样

线i=W（2k-i）+i*n lg n

这是真的

让我们再次使用迭代方法：

W（n）=W（n/2）+n对数n

=（W（n/4）+（n/2）log（n/2））+n log n

=W（n/4）+（n/2）（对数n-1）+n对数n

=W（n/4）+n对数n/2-n/2+n对数n

=W（n/4）+（1+1/2）n对数n-n/2

=（W（n/8）+（n/4）log（n/4））+（1+1/2）n log n-n/2

=W（n/8）+（n/4）（对数n-2）+（1+1/2）n对数n-n/2

=W（n/8）+n日志n/4-n/2+（1+1/2）日志n-n/2

=W（n/8）+（1+1/2+1/4）n对数n-n

=（W（n/16）+（n/8）log（n/8））+（1+1/2+1/4）n log n-n

=W（n/16）+（n/8）（对数n-3）+（1+1/2+1/4）n对数n-n

=W（n/16）+n对数n/8-3n/8+（1+1/2+1/4）n对数n-n

=W（n/16）+（1+1/2+1/4+1/8）n对数n-n-3/8n

我们可以看看这个，看看我们是否发现了一种模式。首先，注意，当我们不断向外扩展时，n logn项的系数为（1+1/2+1/4+1/8+…）。这个级数收敛到2，所以当迭代停止时，该项将在n logn和2n logn之间。接下来，看看-n项的系数。如果你仔细观察，你会发现这个系数是-1倍

（1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+…）

这是i/2i之和，收敛到2。因此，如果我们迭代这个过程，我们会发现在每一步的值都是Θ（n logn）-Θ（n），所以整体递归解为Θ（n logn）

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希望这有帮助

“这是i/2^i的和，收敛到2”，也许你很清楚，但你是怎么计算的？