Math 如何优化浮点除法结果的结果？

我有一个使用牛顿-拉斐逊算法计算浮点平方根除法的算法。我的结果不完全准确，有时偏离1 ulp

我想知道是否有一种改进的浮点除法算法来获得最终的精度位。我对平方根使用塔克曼检验，但是除法有类似的算法吗？或者塔克曼测试是否可以适用于除法

我也尝试过使用这种算法，但没有得到完全准确的结果：

z= divisor
r_temp = divisor*q
 r = dividend - r_temp
result_temp = r*z
q + result_temp

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正确舍入迭代除法结果的一种实用方法是，在数学结果的一个ulp内生成一个初步商，然后使用精确计算的残差计算最终结果

精确计算残差的首选工具是融合乘加（FMA）运算。这种方法的许多基础工作（无论是在数学方面还是在实际实现方面）都归功于Peter Markstein，后来被其他研究人员改进。马克斯坦的研究结果在他的书中得到了很好的总结：

Peter Markstein，IA-64和基本函数：速度和精度。普伦蒂斯大厅2000

使用Markstein方法进行正确舍入除法的一种简单方法是，首先计算正确舍入的倒数，然后将其与 股息，然后是最后的基于残差的四舍五入步骤

残差可以直接用于计算最终的四舍五入结果，如下面代码中的商四舍五入所示（我注意到此代码序列导致1011个除法中的一个除法的四舍五入结果不正确，并将其替换为另一个比较和选择习惯用法的实例）这是Markstein使用的技术。或者，它也可以用作双边比较和选择过程的一部分，类似于Tuckerman舍入，如下面代码中的倒数舍入所示

关于倒数计算，有一个警告。许多常用的迭代方法（包括我在下面使用的方法）与Markstein的舍入技术相结合时，如果除数的尾数完全由1位组成，则会产生错误的结果

解决这个问题的一个办法是专门处理这个病例。在下面的代码中，我选择了双边比较和选择方法，这也允许在取整之前误差略大于一个ulp，因此无需在交互迭代本身中使用FMA

请注意，我在下面的C代码中省略了对次正常结果的处理，以保持代码简洁易懂。我只使用标准的C库函数来执行诸如提取部分浮点操作数、汇编浮点数以及应用一个ulp递增和递减等任务。大多数平台将提供具有更高性能的特定于机器的选项

float my_divf（浮点a、浮点b）
{
浮点数q，r，ma，mb，e，s，t；
int ia，ib；
如果（！isnanf（a+b）&&&！isinff（a）&&&！isinff（b）&&（b！=0.0f））{
/*正常情况：删除符号，将参数拆分为指数和尾数*/
ma=frexpf（fabsf（a）和ia）；
mb=frexpf（fabsf（b）和ib）；
/*[0.5,1]中mb的极小极大多项式逼近为1/mb*/
r=-3.549341e+0f；
r=r*mb+1.06481802e+1f；
r=r*mb-1.17573657e+1f；
r=r*mb+5.65684575e+0f；
/*应用一次三次收敛迭代*/
e=1.0f-mb*r；
e=e*e+e；
r=e*r+r；
/*四舍五入倒数到最近或偶数*/
e=fmaf（-mb，r，1.0f）；//第一个候选者的残差
s=nextafterf（r，copysignf（2.0f，e））；//凹凸或凹痕
t=fmaf（-mb，s，1.0f）；//第二个候选者的残差
r=（fabsf（e）

有一种基于FMA（融合乘加）的浮点除法结果四舍五入算法，但从您之前的问题来看，我认为这对您没有用，因为您的平台没有提供FMA？作者：1993年的Alan H.Karp和Peter Markstein，他们说：按照最初的公式，塔克曼舍入只能用于平方根，不能用于除法。"您是否尝试过文献搜索，例如通过Google Scholar？以下文章可能很有用，因为它不假设FMA可用：。由于我没有FMA，是否仍有可能得到正确的结果？在搜索过程中使用舍入到零或类似的方法。@starbox:您可能想看看我前面提到的文章，然后再看看我不确定你的背景是什么：如果你在生产中需要这个功能