Math 考虑加速度的插值

我真的不知道我想做的是否被认为是插值，但我会尽力解释

现在，当我想从A点到点的时候，简单地考虑时间只有1个坐标空间，用线性插值公式计算位置：

P(t) = A + (B-A) * (t / T), T != 0

这在大多数情况下都很好，但我想对加速和制动进行如下分类：

前x%的时间是从vi速度加速到v速度 下一个y%的时间是恒定的v速度 最后z%的时间将减速，以在t=t时达到vf速度

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考虑到加速和制动，如何计算[0，t]中的Pt，t？

考虑到我们有以下时间点：

t0 = 0 is the beginning of the movement
ta is the point when acceleration ends
td is the point when decceleration begins
T is the end of the movement

然后我们有三个部分的运动。[t0，ta]，ta，td]，td，T]。可以单独指定每一项。对于加速/减速，我们需要计算加速aa和减速ad，如下所示：

aa = (v - vi) / (ta - t0)
ad = (vf - v) / (T - td)

根据您的问题，所有值都已给出

那么运动可以表示为：

P(t) :=
    if(t < ta)
        1 / 2 * aa * t^2 + vi * t + A
    else if(t < td)
        v * (t - ta) + 1 / 2 * aa * ta^2 + vi * ta + A
                    // this is the length of the first part
    else
        1 / 2 * ad * (t - td)^2 + v * (t - td) 
          + v * (td - ta) + 1 / 2 * aa * ta^2 + vi * ta + A
          //those are the lengths of the first two parts

然后公式会变得稍微短一点：

P(t) :=
    if(t < ta)
        1 / 2 * aa * t^2 + vi * t + A
    else if(t < td)
        v * (t - ta) + s1
    else
        1 / 2 * ad * (t - td)^2 + v * (t - td) + s1 + s2

---

考虑到我们有以下时间点：

t0 = 0 is the beginning of the movement
ta is the point when acceleration ends
td is the point when decceleration begins
T is the end of the movement

然后我们有三个部分的运动。[t0，ta]，ta，td]，td，T]。可以单独指定每一项。对于加速/减速，我们需要计算加速aa和减速ad，如下所示：

aa = (v - vi) / (ta - t0)
ad = (vf - v) / (T - td)

根据您的问题，所有值都已给出

那么运动可以表示为：

P(t) :=
    if(t < ta)
        1 / 2 * aa * t^2 + vi * t + A
    else if(t < td)
        v * (t - ta) + 1 / 2 * aa * ta^2 + vi * ta + A
                    // this is the length of the first part
    else
        1 / 2 * ad * (t - td)^2 + v * (t - td) 
          + v * (td - ta) + 1 / 2 * aa * ta^2 + vi * ta + A
          //those are the lengths of the first two parts

然后公式会变得稍微短一点：

P(t) :=
    if(t < ta)
        1 / 2 * aa * t^2 + vi * t + A
    else if(t < td)
        v * (t - ta) + s1
    else
        1 / 2 * ad * (t - td)^2 + v * (t - td) + s1 + s2

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这不是一个真正的编程问题。但是，对于承受恒定加速度的物体的位置，还有一个公式。你可以通过两次积分力方程并考虑必要的边界条件来推导位置公式。下面我给出的答案的另一个替代方法是使用hermite插值。为此，可以指定起点和终点及其切线。我不确定这是否是你所需要的，因为没有匀速运动，但你可能想看看。这显然更容易实现。这个问题似乎离题了，因为它是关于数学/物理而不是编程的。这不是一个真正的编程问题。但是，对于承受恒定加速度的物体的位置，还有一个公式。你可以通过两次积分力方程并考虑必要的边界条件来推导位置公式。下面我给出的答案的另一个替代方法是使用hermite插值。为此，可以指定起点和终点及其切线。我不确定这是否是你所需要的，因为没有匀速运动，但你可能想看看。这个问题似乎离题了，因为它是关于数学/物理而不是编程的。