Math 渐近界与大O表示法

假设我们有两个单调递增的函数f，g，使得f（n）=Ω（n）和f（g（n））=O（n），这样说对吗。然后我想得出结论，g（n）=O（n）

我认为这是一个错误的主张，我一直试图提供反例来证明这是一个错误的主张，但在多次尝试之后，我开始有了不同的想法

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如果这是一个错误的声明，请你提供一些解释或例子，或者一种证明它是否正确的方法。

我相信这个声明是正确的。这是一个证明

假设f（n）=Ω（n）。这意味着有常数c，n0

f（n）≥ 任意n的cn≥ 不。(一)

类似地，因为f（g（n））=O（n），我们知道有常数d，n1

f（g（n））≤ 任意n的dn≥ n1。(二)

现在，有两种选择。第一个是g（n）=O（1），在这种情况下我们完成了，因为g（n）是O（n）。第二种情况是g（n）≠ O（1），在这种情况下，g增长没有束缚。这意味着存在一个n2，使得g（n2）≥ n0（g增长时没有边界，因此它最终会超过n0）和n2≥ n1（只需选择一个大n2）

现在，选择任意一个n≥ n2。自从≥ n2，我们有g（n）≥ g（n2）≥ 因为g是单调递增的，所以通过（1）我们可以看到

f（g（n））≥ cg（n）

自从≥ 氮气≥ n1，我们可以把这个不等式和方程（2）结合起来看

dn≥ f（g（n））≥ cg（n）

所以，特别是，我们有

g（n）≤ （d/c）n

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为了所有人≥ n2，所以g（n）=O（n）。

非常感谢！