Math 计算矩阵到幂k的迹

我需要计算一个矩阵的3和4的幂的轨迹，它需要尽可能快

这里的矩阵是一个简单图的邻接矩阵，因此它是正方形的，对称的，它的条目总是1或0，对角元素总是0

对于矩阵的2次幂的跟踪，优化是微不足道的：

• 对于跟踪，我们只需要对角线条目（i，i），跳过所有其他条目
• 由于矩阵是对称的，这些条目只是第i行的条目的平方和总和
• 由于条目仅为1或0，因此可以跳过平方运算

我在维基百科上发现的另一个想法是总结哈达玛乘积的所有元素，即条目式乘法，但我不知道如何将这个方法扩展到3和4的幂

看

也许我只是个盲人，但我想不出一个简单的解决办法

最后我需要一个C++实现，但是我觉得这个问题不重要。

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提前感谢您的帮助。

轨迹是特征值之和，矩阵幂的特征值就是该幂的特征值

也就是说，如果l_1，…，l_n是矩阵的特征值，那么trace（M^p）=1_1^p+l_2^p+…+l_n^p

根据您的矩阵，您可能需要计算特征值，然后求和。如果矩阵的秩较低（或者可以很好地近似于低秩矩阵），则可以非常便宜地计算特征值（部分特征分解的复杂性为O（n*k^2），其中k是秩）

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编辑：您在评论中提到的是1600x1600，在这种情况下，查找所有特征值应该没有问题。这里有许多C++代码，你可以用这个< /P> < P> OK，我自己就想出来了。 我不知道的重要事情是：

如果A是有向图或无向图G的邻接矩阵，那么矩阵An（即A的n个副本的矩阵积）有一个有趣的解释：第i行和第j列中的条目给出了长度为n的从顶点i到顶点j的（有向或无向）行走数。例如，这意味着无向图G中的三角形数正好是A^3除以6的轨迹

（抄自）

在处理稀疏图和使用邻接列表而不是矩阵时，检索所有n个节点从节点i到i的给定长度的路径数基本上可以在O（n）中完成

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不过，谢谢你的回答

矩阵的大小是多少？当我仔细阅读时，我感到困惑。你说矩阵是对角的，没有对角元素。是哪一个？对角线上有零的对角线矩阵有一个相当简单的轨迹：零。零矩阵的任何幂也有零迹。你是说矩阵是对称的，而不是对角的吗？因为它是一个邻接矩阵，所以大小取决于图的大小。我用的最大的是1600x1600。我想这是属于你的，你有一个稀疏图，所以你有一个稀疏邻接矩阵。在这种情况下，矩阵乘法非常快。你确定这个路径枚举的想法会比只计算^3更快吗？