Math 计算位于三维平面上的向量

我有一个由两个3D向量定义的3D平面：

• P=位于平面上的点
• N=平面的曲面法线

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我想计算平面上的任何向量。取任何向量，v，不平行于N，它与N的向量叉积（w1=vxn）是平行于平面的向量

也可以取w2=v-N（v.N）/（N.N），这是v到平面的投影

平面上的一个点可以用x=p+aw表示，事实上，平面上的所有点都可以表示为 x=P+a w2+b（w2 x N） 只要w2的v是“合适的”。。记不起确切的情况，懒得去计算；）

如果要确定点是否位于平面中，而不是在平面中查找点，可以使用

x、 N=p.N

对于平面中的所有x。

如果N=（xn，yn，zn）和p=（xp，yp，zp），则平面方程由下式给出：

（x-xp，y-yp，z-zp）*（xn，yn，zn）=0

其中（x，y，z）是平面的任意点，*表示内积

我想计算任何向量 那在飞机上

如果我理解正确，您需要检查点是否属于平面

你必须检查这个等式：nx（x− x0）+ny（y− y0）+nz（z）− z0）=0对你的观点是正确的

式中：[nx，ny，nz]是法向量，[x0，y0，z0]是给定点，[x，y，z]是要检查的点

//编辑

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现在我明白你的问题了。需要两个线性独立的向量，它们是基本平面。所以你们需要休耕迈克尔·安德森的回答者，但你们必须添加第二个向量，并使用这些向量的组合。更多信息：

我不想检查点是否在平面上，我只想生成平面上存在的任何点。这将是“很多”点；）是的，但我不能只是开始插入值和测试。这非常接近我想要的。但不完全是这样，看看我要找的东西会给我一个向量，每次都在同一个平面上。我不关心向量在平面上的方向，只是生成的向量确实位于同一平面上。目前，结果向量所在的平面取决于V的值（叉积的非平行向量），除非我误解了你。是的，你需要第二个向量来生成平面。现在你只有一条属于这个平面的线，要得到这个平面上的所有点，你需要两个独立的向量，平行于这个平面。对于几乎任何v，第一个可以是w1=VxN。由于叉积的性质，w1平行于平面，因为它垂直于法线N。第二个向量是w2=w1 x N，即perp。由于叉积的性质，将其转化为N。这也是罪犯。到w1，因此与w1线性无关。因为我们有两个向量PAR。对于平面x=P+a w1+b w2给出了平面上的所有点，因为我们改变了a和b。为了简洁起见，我省略了一些关于选择v的微妙问题。类似于我上面的评论，你也可以将w1和w2取为w1=I-N（I.N）/（N.N）和w2=j-N（I.N）/（N.N），其中I和j是x和y方向上的单位向量。w1和w2都是平面，因为w1.N=i.N-N.N（i.N）/（N.N）=0和w2.N=j.N-N.N（j.N）/（N.N）=0（如果其中一个向量为零，则可以用k.N-N.N（k.N）/（N.N）替换它）然后平面由x=P+a w1+b w2给出，改变a和b将得到平面中的所有点。这基本上就是第二个版本所做的，用随机向量替换i和j。它所避免的只是将P加上和减去几次——这会导致稍微整洁的数学。属于数学溢出。与编程无关。我在这里没有看到关于在编程中使用数学的问题有任何错误。对，这实际上是我正在研究的一个编程问题。还有，我不知道数学溢出，很酷！mathoverflow是同一个人吗？这个问题似乎离题了，因为它是关于数学的，而不是关于编程的。尝试