Math 双递归函数的时间复杂度

这就是代码：

int test ( int n) 
{ 
   if (n ≤2) return 1; 
   else return test(n-2) * test(n-2); 
} 

我对如何推理这个递归函数没有信心。我尝试将N值映射到递归深度，如下所示：

N = 2 -> 0 recursions
N = 4 -> 2
N = 8 -> 14

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但老实说，我不确定这是否能让我成功（仅仅想到测试（16）就会伤到我的头。

让我们先写出一个呼叫总数的重复关系：

• T（0）=T（1）=T（2）1，因为总共有一个调用（初始调用）
• T（n+2）=2T（n）+1，因为对初始调用有一个调用，对大小为n的问题有两个递归调用

让我们从n为偶数的情况开始，然后

• T（0）=1
• T（2）=1
• T（4）=2T（2）+1=3
• T（6）=2T（4）+1=7
• T（8）=2T（6）+1=15
• T（9）=2T（8）+1=31

除了0的情况外，看起来这些值都是1，3，7，15，31等等。注意，每一个值都比2的幂小一：1=2-1，3=4-1，7=8-1，等等。我们可以猜测我们所看到的与2的幂有关

回到我们的序列，我们可能会猜测

• T（2）=1=21-1
• T（4）=3=22-1
• T（6）=7=23-1
• T（2n）=2n-1

如果n是偶数，我们有T（n）=2n/2-1=(√2） 你可以用归纳法证明这一点

对于奇怪的情况，我们基本上得到了相同的结果：

• T（1）=1
• T（3）=2T（1）+1=3
• T（5）=2T（3）+1=7
• T（7）=2T（5）+1=15
• T（9）=2T（7）+1=31
• T（2n+1）=2n-1

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如果n是偶数，那么T（n）=2（n-1）/2-1。同样，你可以通过归纳来证明这一点，如果你愿意的话。

你知道，你可以通过将

返回测试（n-2）*test（n-2）

更改为

{int y=test（n-2）；返回y*y；}

？一个简单的更改就可以将一个O（2^n）函数转换为O（n）功能。