Math 在n维环面上生成随机点

我想生成位于n维环面上的随机点。我找到了如何在曲面上生成点的公式：

u、 五∈ [0，2*pi）；c，a>0

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我现在的问题是：如何将这个公式扩展到n维。如果您对此有任何帮助，我们将不胜感激。

我想您可以递归地这样做。从向量空间的完整正交基开始，让当前位置作为原点。在每一步中，选择前两个坐标向量所跨越的平面中的一点TOR，即取w1=cos（t）*v1+sin（t）*v2.移动其他基向量，即w2=v3，w3=v4，…。也从当前位置朝w1方向迈出一步，前面选择半径r1。如果只剩下一个基向量，则当前点是最外层递归调用的n维环面上的点

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请注意，虽然上述方法可能用于随机选择点，但它不会统一选择点。这可能是一个更难的问题，在您担心实现之前，您肯定应该询问该方法的数学原理，或者也许是为了获得正确的数学原理。

n-torus（n是圆环表面的维数；因此面包圈或甜甜圈是2个圆环，而不是3个圆环）是n矩形的平滑映射。一种方法是在矩形上生成点，然后将它们映射到圆环上。除了解决如何将矩形映射到圆环上的问题之外（我现在还不知道），存在这样一个问题，即即使矩形上的点分布均匀，环面上的点分布也不均匀。但必须有一种方法来调整矩形上的分布，使其在环面上均匀。

仅均匀地生成

u

和

v

，不一定会导致从环面均匀地进行MPE。需要额外的步骤

J.F.Williamson，“曲面上分布点的随机选择”，《医学与生物学物理学》32（10），1987年，描述了在参数曲面上选择均匀随机点的一般方法。这是一种接受/拒绝方法，根据拉伸因子（梯度范数）接受或拒绝每个候选点。若要对参数曲面使用此方法，必须了解曲面的以下几点：-

• x（u，v）

  、

  y（u，v）

  和

  z（u，v）

  ，它们是从二维坐标

  u

  和

  v

  生成三维坐标的函数

• u

  和

  v

  的范围

• g（点）

  ，曲面上每个点的梯度范数（“拉伸因子”），以及

• gmax

  ，整个表面的最大值

  g

对于您在问题中给出的参数化三维环面，

g

和

gmax

如下所示：

• g（u，v）=a*（c+cos（v）*a）

• gmax=a*（a+c）

然后，在具有圆环半径

c

和管半径

a

的三维圆环表面上生成均匀随机点的算法如下所示（其中

rndextrange（x，y）

返回

[x，y]中的一个数字）

均匀随机，而

RNDRANGE（x，y）

返回

[x，y]中的一个数字

均匀随机）：

如果您有n维环面生成公式，可以使用类似的方法在该环面上生成均匀的随机点（如果梯度范数等于或超过[0，

gmax

）中的随机数，则接受候选点，

gmax

是梯度的最大范数）

x = (c + a * cos(v)) * cos(u)
y = (c + a * cos(v)) * sin(u)
z = a * sin(v)

// Maximum stretch factor for torus
gmax = a * (a + c)
while true
 u = RNDEXCRANGE(0, pi * 2)
 v = RNDEXCRANGE(0, pi * 2)
 x = cos(u)*(c+cos(v)*a)
 y = sin(u)*(c+cos(v)*a)
 z = sin(v)*a
 // Norm of gradient (stretch factor)
 g = a*abs(c+cos(v)*a)
 if g >= RNDRANGE(0, gmax)
    // Accept the point
    return [x, y, z]
 end
end