如何在Matlab中处理精度问题？

我正试图用Matlab编写一个生日问题计算器，但有一个精度问题，其中（1-非常小的浮点数=1）

我目前的问题是，我想知道在一个网站上，如果有23000000个活动会话令牌，其中有128位可能的唯一值，那么在猜测UUID时需要尝试多少次，因此猜测有效令牌的几率超过50%

我首先通过以下方式模拟该过程：

我将我的成功率设定为（23000000/（2^128））

我将失败率设置为（1-成功率）

但是我注意到这个值是1

更糟糕的是，在中输入

（1-23000000/（2^128））^n>0.5

不会提供有用的答案

我的第一个想法是完全抛弃Matlab，用Java创建我自己的库，它根本不使用浮点值，而是将比率存储为一对BigDecimal对象，这将通过只在最后一点进行计算消除所有精度问题，并将此计算存储为一对最小-最大值，以将结果显示为解决方案所在的范围（如果精确解不存在，因为浮点除法会导致错误和值，而这些错误和值无法使用指定精度的浮点来表示，但可以通过仅指定实际比率来表示精确答案，因为除法从未应用于实际比率，所以会显示该比率）

有没有一种不用发明这样一个系统就可以解决这类问题的方法，或者这些问题本质上不可能用浮点系统来解决

…这些问题是否天生就不可能用浮点系统解决

简短解释：

在MATLAB中默认为是，如果使用MATLAB中的符号工具箱，则为否

在MATLAB中，你可以用双精度浮点数来表示非常非常小的数字。但是，你遇到的问题与操作彼此相差太多数量级的双精度浮点数有关-在执行计算时，你会受到MA精度的限制TLAB计算

谢天谢地，有一个工具箱以符号工具箱的形式来缓解这个问题。如果您想在执行

1-（小值）

时得到除1以外的其他值，请查看该工具箱

详细解释：

MATLAB中的双精度浮点数具有令人印象深刻的最大精度，分别为

-1.79769e+308到-2.22507e-308和2.22507e-308到1.79769e+308

。然而，MATLAB计算的最大精度仅为53位：精度为9.007199255×10%⁵.

以下是我对如何产生您遇到的结果的解释（1-小值=1）：

数字

1.234e12

的精度约为

1e16

，这意味着MATLAB可以对该数字进行操作，误差约为

1e-4

。同样，

2.345e-7

的计算误差约为

1e-23

。因此，将两个数字相加将产生

1e-4

，因此较小的数值在MATLAB执行的计算误差中丢失

如果您不介意等待更长的计算时间（与在远大于53位的数字上执行操作相关），那么我强烈建议您使用MATLAB中的符号工具箱（即

vpa

函数）

如果我的答案不适合你，也许你可以在MATLAB论坛上查看。我从这个答案中提取了部分样本数

快乐的编码，我希望这有帮助！

很容易解释：

使用：

   eps(double(1))

在Matlab中，您将发现1（其最大精度=双精度）与执行数学运算时可以区分的下一个浮点数之间的最小间隙。在这种情况下，间隙等于2.2204e-016

自：

success_rate = (23,000,000 / (2^128))

---

将返回

6.7591e-032

，当执行1时，它远小于上面介绍的差距-6.7591e-032 Matlab理解从1中减去0，因此您总是得到1作为答案。希望它能有所帮助。

其他答案解释了为什么您不能使用ma中的差异执行所需的计算您正在使用的数字的大小。但是，正如我在评论中提到的，您可以尝试使用较小的数字来显示趋势。让我们将“投影”值

size\u of_key\u space/（2*number\u of_key）

。对于获得50%的成功概率来说，这是一个天真的期望值。为了证明这一点，我对许多不同的键集和键空间进行了模拟。所有这些都很大，稀疏程度不同：

function sparse_probability()

num_keys = logspace(2, 5, 15);  % number of keys varies from 1e2 to 1e5
key_spaces = logspace(6, 12, 15);  % size of key space varies from 1e6 to 1e12
% so p_sucess varies from 1e-4 to 1e-7

num_experiments = length(num_keys);

results = zeros(1,num_experiments);
proportions = zeros(1,num_experiments);

for i = 1:num_experiments
    num_objs = num_keys(i);
    size_of_key_space = key_spaces(i);
    p_success = num_objs/size_of_key_space;
    p_fail = 1 - p_success;

    total_fail = 1;
    num_trials = 0;
    while (total_fail > 0.5)
        total_fail = total_fail * p_fail;
        num_trials = num_trials + 1;
    end


    results(i) = num_trials;
    proportions(i) = num_trials/(size_of_key_space/(2*num_objs));
    fprintf('p_success = %f, num_trials = %d, ratio = %f, num_keys = %e; size key_space = %e\n', 1 - total_fail, num_trials, proportions(i), num_objs, size_of_key_space);
end

由于密钥集和密钥空间的大小差异很大，我计算了上述“预测”值的比率，以及达到50%概率所需的实际试验次数。上述函数的输出为：

p_success = 0.500044, num_trials = 6932, ratio = 1.386400, num_keys = 1.000000e+02; size key_space = 1.000000e+06
p_success = 0.500010, num_trials = 11353, ratio = 1.386293, num_keys = 1.637894e+02; size key_space = 2.682696e+06
p_success = 0.500006, num_trials = 18595, ratio = 1.386292, num_keys = 2.682696e+02; size key_space = 7.196857e+06
p_success = 0.500008, num_trials = 30457, ratio = 1.386309, num_keys = 4.393971e+02; size key_space = 1.930698e+07
p_success = 0.500004, num_trials = 49885, ratio = 1.386300, num_keys = 7.196857e+02; size key_space = 5.179475e+07
p_success = 0.500001, num_trials = 81706, ratio = 1.386294, num_keys = 1.178769e+03; size key_space = 1.389495e+08
p_success = 0.500001, num_trials = 133826, ratio = 1.386297, num_keys = 1.930698e+03; size key_space = 3.727594e+08
p_success = 0.500002, num_trials = 219193, ratio = 1.386298, num_keys = 3.162278e+03; size key_space = 1.000000e+09
p_success = 0.500001, num_trials = 359014, ratio = 1.386295, num_keys = 5.179475e+03; size key_space = 2.682696e+09
p_success = 0.500001, num_trials = 588027, ratio = 1.386296, num_keys = 8.483429e+03; size key_space = 7.196857e+09
p_success = 0.500000, num_trials = 963125, ratio = 1.386295, num_keys = 1.389495e+04; size key_space = 1.930698e+10
p_success = 0.500000, num_trials = 1577496, ratio = 1.386294, num_keys = 2.275846e+04; size key_space = 5.179475e+10
p_success = 0.500000, num_trials = 2583771, ratio = 1.386294, num_keys = 3.727594e+04; size key_space = 1.389495e+11
p_success = 0.500000, num_trials = 4231943, ratio = 1.386295, num_keys = 6.105402e+04; size key_space = 3.727594e+11
p_success = 0.500000, num_trials = 6931472, ratio = 1.386294, num_keys = 1.000000e+05; size key_space = 1.000000e+12

如果要绘制比率列与键空间大小的关系图，则会得到一条直线。如中所示，只要键集和键空间相距数个数量级，比率基本上是恒定的。请注意，稀疏度会发生变化，但这不会影响比率。这是此类稀疏概率的典型特征问题。从这个简单的实验中，你可以非常有把握地说，在

2^128=3.4e38

的键空间中，使用

2.3e7

键所需的猜测次数是

1.386294

以上的比率限制与总共

1.386294 * (2^128 / (2 * 2.3e7)) = 1.02550305123542e+31 

猜测有效UUID的50%几率需要猜测

以每秒1万亿次的猜测速度，需要3250亿年才能做出如此多的猜测。换句话说，你是安全的。

(a + b)^n = a^n + C(1,n)a^(n-1)b + C(2,n)a^(n-2)b^2 + ...

(1 - b)^n = 1 - n b + O(b^2)

(1 - 23000000/(2^128))^n = exp(n*log(1- 23000000/(2^128))

exp(n*log1p(-23000000/(2^128)))