Matlab 由两组对应点计算本质矩阵

我正试图从两个校准过的摄像机重建一个3d图像。其中一个步骤是从两组相应（齐次）点（超过8个要求）

P_a_orig

和

P_b_orig

以及两个摄像机的3x3内部校准矩阵

K_a

计算3x3基本矩阵

E

首先，我们用

P_a = inv(K_a) * p_a_orig

及

我们也知道约束条件

P_b' * E * P_a = 0

---

到目前为止，我一直在关注这一点，但实际上如何解决最后一个问题，例如，找到

e

矩阵的九个值？关于这个问题，我读了好几篇不同的课堂讲稿，但都忽略了关键的最后一步。可能是因为它被认为是一个琐碎的数学问题，但我不记得上次是什么时候做的，我还没有找到解决方案。

你可以做几件事：

• 基本矩阵可以使用估计，您可以自己实现
• 您可以使用计算机视觉系统工具箱中的

  estimateFundamentalMatrix

  函数，然后从基本矩阵中获取基本矩阵
• 或者，您可以使用计算机视觉系统工具箱中的功能校准立体相机系统，该工具箱将为您计算基本矩阵

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这个方程实际上在几何算法中非常常见，基本上，您试图从方程AXB=0计算矩阵X。要解决这个问题，你需要对方程进行矢量化，这意味着，

vec（）表示矩阵的向量化形式，即简单地将矩阵的列一个一个地堆叠在另一个上以生成单个列向量。如果你不知道这个看起来吓人的符号的含义，它叫做Kronecker产品，你可以从中阅读，很简单，相信我：-）

现在，假设我将由B^T和A的Kronecker乘积得到的矩阵称为C。 然后，vec（X）是矩阵C的零向量，获得零向量的方法是执行C^TC（C转置乘以C）并取矩阵V的最后一列。最后一列只不过是你的vec（X）。将X的形状改为3乘3矩阵。这是你的基本矩阵

如果您觉得这个数学太难编写代码，只需使用Y.Ma等人的以下代码即可：

%  p are homogenius coordinates of the first image of size 3 by n
%  q are homogenius coordinates of the second image of size 3 by n

function [E]  = essentialDiscrete(p,q)

n = size(p);
NPOINTS = n(2);

% set up matrix A such that A*[v1,v2,v3,s1,s2,s3,s4,s5,s6]' = 0
A = zeros(NPOINTS, 9);

if NPOINTS < 9
     error('Too few mesurements')
     return;
end

for i = 1:NPOINTS
  A(i,:) = kron(p(:,i),q(:,i))';
end
r = rank(A);

if r < 8 
  warning('Measurement matrix rank defficient')
  T0 = 0; R = [];
end;

[U,S,V] = svd(A);

% pick the eigenvector corresponding to the smallest eigenvalue
e = V(:,9);
e = (round(1.0e+10*e))*(1.0e-10);
% essential matrix 
E = reshape(e, 3, 3);

%p是大小为3×n的第一幅图像的同调坐标
%q是大小为3×n的第二幅图像的同调坐标
函数[E]=本质混凝土（p，q）
n=尺寸（p）；
NPOINTS=n（2）；
%设置矩阵A，使A*[v1、v2、v3、s1、s2、s3、s4、s5、s6]'=0
A=零（n点，9）；
如果NPOINTS<9
错误（“测量太少”）
返回；
结束
对于i=1:NPOINTS
A（i，：）=kron（p（：，i），q（：，i））；
结束
r=等级（A）；
如果r<8
警告（“度量矩阵秩缺陷”）
T0=0；R=[]；
结束；
[U，S，V]=svd（A）；
%选取与最小特征值对应的特征向量
e=V（：，9）；
e=（四舍五入（1.0e+10*e））*（1.0e-10）；
%本质矩阵
E=重塑（E，3，3）；

您确定可以简单地从基本矩阵中获得基本矩阵吗？我相信这是不可能的，如果不知道摄像机的内在参数。。。

%  p are homogenius coordinates of the first image of size 3 by n
%  q are homogenius coordinates of the second image of size 3 by n

function [E]  = essentialDiscrete(p,q)

n = size(p);
NPOINTS = n(2);

% set up matrix A such that A*[v1,v2,v3,s1,s2,s3,s4,s5,s6]' = 0
A = zeros(NPOINTS, 9);

if NPOINTS < 9
     error('Too few mesurements')
     return;
end

for i = 1:NPOINTS
  A(i,:) = kron(p(:,i),q(:,i))';
end
r = rank(A);

if r < 8 
  warning('Measurement matrix rank defficient')
  T0 = 0; R = [];
end;

[U,S,V] = svd(A);

% pick the eigenvector corresponding to the smallest eigenvalue
e = V(:,9);
e = (round(1.0e+10*e))*(1.0e-10);
% essential matrix 
E = reshape(e, 3, 3);