Matlab 旋转基准以与矢量对齐

我有一个矩阵

M

，大小

NxP

。每个

P

列都是正交的（

M

是基础）。我还有一个向量

V

，大小

N

我的目标是将

M

的第一个向量转换为

V

，并更新其他向量以保持其正交性。我知道

V

和

M

的原点是相同的，所以它基本上是从某个角度旋转的。我假设我们可以找到一个矩阵

T

，这样

T*M=M'

。然而，我无法弄清楚如何（使用MATLAB）实现它的细节

另外，我知道可能有无限多个变换可以这样做，但我想得到最简单的一个（在这个变换中，

M

的其他向量大致保持不变，即没有围绕第一个向量旋转）

要说明的小图片。在我的实际情况中，

N

和

P

可以是大整数（不一定是3）：

提前感谢您的帮助

[编辑]Gram Schmidt的替代解决方案（接受答案） 我设法通过检索旋转矩阵

R

获得正确的解决方案，通过解决一个优化问题，最小化

M

和

R*M

之间的2-范数，在约束条件下：

• V

  与

  R*M[1]正交。。。R*M[P-1]

  （即

  V'*（R*M[i]）=0

  ）

• R*M[0]=V

由于解算器约束，我无法指出

R*M[0]。。。R*M[P-1]

都是成对正交的（即

（R*M）*（R*M）=i

）

---

幸运的是，对于这个问题和我的解算器（使用SDPT3的CVX），得到的

R*M[0]。。。R*M[P-1]

也是成对正交的。

我相信您想在这里使用这个过程，它为一组向量找到正交基。如果

V

与

M[0]

不正交，只需将

M[0]

更改为

V

并运行Gram Schmidt，即可获得正交基。如果它与

M[0]

正交，则将另一个非正交向量（如

M[1]

更改为

V

）并交换列以使其成为第一个向量

请注意，向量

V

需要位于

M

的列空间中，否则您将始终拥有与以前不同的基础

---

Matlab没有内置的Gram-Schmidt命令，尽管可以使用

qr

命令获得正交基。但是，如果您需要

V

作为向量之一，则这将不起作用。

我相信您希望在这里使用这个过程，它为一组向量找到正交基。如果

V

与

M[0]

不正交，只需将

M[0]

更改为

V

并运行Gram Schmidt，即可获得正交基。如果它与

M[0]

正交，则将另一个非正交向量（如

M[1]

更改为

V

）并交换列以使其成为第一个向量

请注意，向量

V

需要位于

M

的列空间中，否则您将始终拥有与以前不同的基础

Matlab没有内置的Gram-Schmidt命令，尽管可以使用

qr

命令获得正交基。但是，如果您需要

V

作为向量之一，这将不起作用。

选项#1：如果您有一些向量，并且在进行一些更改后，您希望旋转矩阵以恢复其正交性，那么我相信，这种方法在Matlab中应该适合您

（由其他用户编辑：上面的链接已断开，可能重定向：）

如果没有，那么

选项#2：我没有在Matlab中这样做，但另一项任务的一部分是找到矩阵的特征值和特征向量。为了实现这一点，我使用了SVD。SVD算法的一部分是Jacobi旋转。它说旋转矩阵，直到它几乎可以对角化，并且具有一定的精度和可逆性

在你们的例子中，雅可比旋转的近似算法应该和这个类似。我可能在某些时候出错，因此您需要在相关文档中再次检查：

1）更改现有向量中的值

2）计算实际矢量和新矢量之间的角度

3）创建旋转矩阵并

• 将余弦（角度）放在旋转矩阵的对角线上
• 将Sin（角度）放在矩阵的左上角
• 将-Sin（角度）放到矩阵的右下角

4）循环中旋转矩阵的向量或向量矩阵的倍数，直到向量矩阵可逆且可对角化，可通过行列式（检查奇异性）和正交性（矩阵对角化）计算反转能力可通过此检查进行测试-如果LU矩阵中的最大值小于某个常数，则停止旋转，此时新矩阵应仅包含正交向量

不幸的是，我无法找到我在过去提到的确切伪代码，但这些链接可能有助于您理解雅可比旋转：

选项#1：如果您有一些向量，并且在进行一些更改后，您希望旋转矩阵以恢复其正交性，那么，我相信，这种方法在Matlab中应该适合您

（由其他用户编辑：上面的链接已断开，可能重定向：）

如果没有，那么

选项#2：我没有在Matlab中这样做，但另一项任务的一部分是找到矩阵的特征值和特征向量。为了实现这一点，我使用了SVD。SVD算法的一部分是Jacobi旋转。它说旋转矩阵，直到它几乎可以对角化，并且具有一定的精度和可逆性

ca中Jacobi旋转的近似算法