基于Matlab的矩阵低秩逼近

考虑一个256 x 256矩阵

a

。我熟悉如何使用SVD计算

A

的低阶近似值

通常在使用

[usv]=svd（A）

之后，我会使用

Ak=U（：，1:k）*S（1:k，1:k）*V（：，1:k）

获取

k

近似值

A

我的问题是如何创建向量

E

，这样，

E（k）=norm（A-Ak）

对于

k=1,2,3…..，256

。也就是说，

E

是256个元素的列向量，每个元素都是

norm（a-Ak）

答案很简单

diag(S)

为什么?

有一个1表示矩阵

a

与其秩-

k

近似值

Ak

之间的误差有一个由

k+1

第个奇异值

a

给出的（光谱）范数2。也就是说，误差由第一个未使用的奇异值给出。这不是一个奇妙的结果吗

例如：

>> A = randn(8,8);
>> [U S V] = svd(A);
>> k = 5;
>> Ak = U(:,1:k)*S(1:k,1:k)*V(:,1:k)'; %'// rank-5 approximation 
>> norm(A-Ak) %// its associated error norm
ans =
    1.0590

>> k = 6;
>> Ak = U(:,1:k)*S(1:k,1:k)*V(:,1:k)'; %'// rank-6 approximation
>> norm(A-Ak) %// its associated error norm
ans =
    0.3924

>> diag(S).' %'// all error norms
ans =
    4.5528    3.2398    2.5863    2.2031    1.4252    1.0590    0.3924    0.1021

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一, 事实上，我直到几分钟前才知道这个定理。我刚刚计算了

norm（A-Ak）

并注意到结果值在

S

中。然后我想一定有一个定理证明了这一点。

二, 谢谢你的更正。

三, “代数是慷慨的；她付出的往往比别人要求的要多。”

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实际上，链接页面上有一个错误/打字错误。最接近秩k近似值的距离实际上是

k+1

-次奇异值，但在光谱范数（这是Matlab的

norm

默认计算的）中测量时，不是Frobenius；参见，例如。