Matrix 在平面上投影点的投影矩阵

如何确定4x4S矩阵，使p在XZ（Y=0）平面上投影到Q中

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Q=Sp

我将给出从点L到平面E的中心投影的一般解（假设L不包含在E中）

为了方便起见，我将使用倍频程/MATLAB表示法

设L在齐次坐标中给出

L=[lx ly lz 1]'

E=[nx, ny, ,nz, d]'

和E以Hessian标准形式给出（也是齐次坐标）

其中[nx，ny，nz]是平面的法线，d是其到原点的有符号距离

然后，通过投影中心L将任何点p（也在齐次坐标中）投影到平面E的矩阵S为

S=eye(4)*(L'*E)-L*E'

中央投影是

Q=S*P

作为一个倍频程/MATLAB函数

% A matrix S describing central projection to a plane E
% L a point in homogeneous coordinates of projective 3-space
% E a plane in homogeneous coordinates of projective 3-space
% Requirement: scalar product of L and E is non-zero (i.e. L is not contained in E)
function S = central_projection_to_plane(L, E)
    S = [
     + L(2)*E(2) + L(3)*E(3) + L(4)*E(4), - L(1)*E(2)                         , - L(1)*E(3)                         , - L(1)*E(4)                        ;
     - L(2)*E(1)                        , + L(1)*E(1) + L(3)*E(3) + L(4)*E(4) , - L(2)*E(3)                         , - L(2)*E(4)                        ;
     - L(3)*E(1)                        , - L(3)*E(2)                         , + L(1)*E(1) + L(4)*E(4) + L(2)*E(2) , - L(3)*E(4)                        ;
     - L(4)*E(1)                        , - L(4)*E(2)                         , - L(4)*E(3)                         , + L(1)*E(1) + L(2)*E(2) + L(3)*E(3)
];
end % function

p.S.：要推导此公式，请注意通过L和p的线可以写成4x4普拉克矩阵

Rx=L*P'-P*L'.

直线Rx与平面E的交点仅为

Q=Rx*E
 =(L*P'-P*L')*E
 =(eye(4)*(L'*E)-L*E')*P
 =S*P

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另请参见：

射线具有坐标r（t）=L+t*（p-L）。即组件形式：

r_x = L_x + t*(P_x-L_x)
r_y = L_y + t*(P_y-L_y)
r_z = L_z + t*(P_z-L_z)

现在您需要找到Q=r（t），以便

r\u y=0

。当

t=-L\u y/（P\u y-L\u y）

或

Q_x = L_x - L_y/(P_y-L_y)*(P_x-L_x)
Q_y = 0
Q_z = L_z - L_y/(P_y-L_y)*(P_z-L_z)

通常，投影平面由单位法向量n=

（n_x，n_y，n_z）

和平面到原点的距离定义。如果r（t）·n=d，则点r（t）位于平面上，其中·是矢量点积

点Q的解决方案通常为

t=（d-n·L）/（n·（p-L）

Q=L+t*（p-L）

在伪C风格代码中，上面是：

// L : Light Source 
// P : Point to be projected
// n : Plane _unit_ normal vector
// d : Distance of plane to the origin
// returns: The point Q along the ray that intersects the plane.
Vector3 HitPlaneWithRay(Vector3 L, Vector3 P, Vector3 n, double d)
{
    double t = (d-Dot(L,n))/Dot(P-L,n);
    return L + t*(P-L);
}
// Intersect ray with floor (Normal=[0,1,0], Distance=0)
Vector3 HitFloorWithRay(Vector3 L, Vector3 P)
{
    return HitPlaneWithRay(L, P, Vector3.J, 0);
}

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这是一个未确定的问题：您可以将相机围绕光线从P旋转到Q。您需要添加约束。虽然这是正确的，但问题是如何找到执行此投影的4x4矩阵。