Optimization 如何加速近似自然对数函数？

我实现了一个基于截断泰勒级数的Padé近似的近似自然对数函数。精度可以接受（±0.000025），但尽管进行了几轮优化，其执行时间仍然是标准库

ln

函数的2.5倍左右！如果它不是更快，也不是那么准确，那它就一文不值了！尽管如此，我还是用它来学习如何优化我的Rust代码。（我的计时来自于使用

标准

板条箱。我使用blackbox，对循环中的值求和，并根据结果创建一个字符串以击败优化器。）

在铁锈操场上，我的代码是：

算法 我的算法概述，该算法处理无符号整数的比率：

通过除以不超过以下值的两个最大幂，将范围缩小到间隔[1,2]：

• 分子的变化表示→ <代码>2ⁿ·N其中1≤ N≤ 2
• 改变分母的表示→ <代码>2ᵈ·D其中1≤ D≤ 2

这使得结果

log（分子/分母）=log（2ⁿ·N/2ᵈ·D） =（n-D）·日志（2）+日志（n）-日志（D）

为了计算对数（N），泰勒级数不在零附近收敛，但在一附近收敛

。。。因为N接近于1，所以替换x=N-1，这样我们现在需要计算log（1+x）

执行替换

y=x/（2+x）

考虑相关函数

f（y）=Log（（1+y）/（1-y））

• =Log（（1+x/（2+x））/（1-x/（2+x）））

• =Log（（2+2x）/2）

• =Log（1+x）

f（y）具有泰勒展开式，其收敛速度必须快于对数（1+x）的展开式。。。

• 对于对数（1+x）→ <代码>x-x²/2+x³/3-y⁴/4+…
• 对于对数（（1+y）/（1-y））→ <代码>y+y³/3+y⁵/5+…

对截断序列

y+y³/3+y使用Padé近似⁵/5…

。。。这是

2y·（15-4y²）/（15-9y²）

对分母重复上述操作，然后合并结果

帕德近似 以下是代码的Padé近似部分：

///近似一加一个范围（0..1）内的数字的自然对数。
/// 
///对对数（（1+y）/（1-y））的截断泰勒级数使用Padé近似。
/// 
///-x-必须是介于0和1之间的值（包括0和1）。
#[内联]
fn log_1_plus_x（x:f64）->f64{
//这是私有的，它的调用者已经检查了底片，所以不需要在这里再次检查。
//此外，尽管ln（1+0）==0是一个简单的情况，但它不太可能是参数
//与其他值不同，因此无需进行特殊测试。
设y=x/（2.0+x）；
设y_平方=y*y；
//原来的公式是：2y·（15-4y²）/（15-9y²）
//2.0*y*（15.0-4.0*y_平方）/（15.0-9.0*y_平方）
//减少乘法：（8/9）y·（3.75-y²）/（5/3-y²）
0.888888888989*y*（3.75-y_平方）/（1.6666666667-y_平方）
}

显然，没有更多的加速

最高有效位 到目前为止影响最大的变化是优化我的计算，以获得最高有效位的位置。我需要它来缩小射程

以下是我的

msb

函数：

///为数值类型提供“msb”方法以获取基于零的
///最高有效位集的位置。
/// 
///基于本文使用的算法：
/// https://prismoskills.appspot.com/lessons/Bitwise_Operators/Find_position_of_MSB.jsp
最重要的一点{
///获取整数类型的最高有效位的从零开始的位置。
///如果数字为零，则返回零。
/// 
///##示例：
/// 
/// ```
///使用ClusterFebia:：clustering:：msb:：MostSignificanBit；
/// 
///断言！（0_u64.msb（）==0）；
///断言！（1_64.msb（）==0）；
///断言！（2_64.msb（）==1）；
///断言！（3_64.msb（）==1）；
///断言！（4_64.msb（）==2）；
///断言！（255_u64.msb（）==7）；
///断言！（1023_u64.msb（）==9）；
/// ```
fn msb（自我）->使用；
}
#[内联]
///返回是否为楼层（log2（x））=楼层（log2（y））
///零表示假，1表示真，因为这来自C！
fn ld_neq（x:u64，y:u64）->u64{
设neq=（x^y）>（x&y）；
如果neq{1}否则{0}
}
u64的impl MOSTSIMGNIFICANTBIT{
#[内联]
fn msb（自身）->使用{
/*
//我替换的较慢代码：
//二分法保证了O（logb）的性能，其中B是整数中的位数。
让mut high=63_usize；
让mut low=0_usize；
而（高-低）>1
{
设mid=（高+低）/2；
让mask_high=（1一次优化将时间缩短一半

我重写了我的msb（最高有效位）函数，以使用库函数
u64:：leading_zeroes
，该函数在内部使用内部函数：

fn msb（self）->usize{
//第三次尝试
设z=self.leading_zero（）；
如果z==64{0}
else{63-z as usize}
}

现在我的对数近似只比内在ln函数长6%，我不太可能做得更好

经验教训：使用内置日志！
一次优化可将时间缩短一半

我重写了我的msb（最高有效位）函数，以使用库函数
u64:：leading_zeroes
，该函数在内部使用内部函数：

fn msb（self）->usize{
//第三次尝试
设z=self.leading_zero（）；
如果z==64{0}
else{63-z as usize}
}

现在我的对数近似只比内在ln函数长6%，我不太可能做得更好

乐