Performance 当f（n）=n^.1和g（n）=log（n）^10时，f（n）=&x3A9；（g） ?？

有人告诉我“任何指数都胜过任何对数”

但是当指数介于0和1之间时，对数的执行时间不是增长得更快吗？根据这个逻辑，它应该是f=O（g）

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我很难选择是遵循我的直觉还是别人告诉我的，但别人告诉我的可能并不完全准确。

让我们在这里试试数学。一个重要的事实是对数函数是单调递增的，这意味着如果

对数f（x）≤ 对数g（x）

然后

f（x）≤ g（x）

现在，让我们看看这是怎么回事。我们有两个函数，x0.1和log10x。如果我们拿走他们的日志，我们会得到

对数（x0.1）=0.1对数x

及

对数（log10 x）=10对数x

由于logx的增长速度比logx慢得多，我们可以直观地看到函数x0.1最终将超过log10x

现在，让我们将其正式化。我们想找到x的一些值，这样

x0.1>log10 x

让我们假设这些是以10为底的对数，只是为了简化数学。如果我们假设某个k的x=10k，我们就得到了

（10k）0.1≥ log10 10k

100.1 k>log10 10k

100.1K>k

现在，取k=100。现在我们有了

100.1*100>100

1010>100

这显然是正确的。因为两个函数都是单调递增的，这意味着对于x≥ 10100，这是真的

x0.1>log10 x

这意味着x0.1=O（log10 k）不是真的

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希望这有帮助

渐近分析真正关注的是长期关系（当n假设较大值时，函数的值如何比较）？它还忽略了常数，这就是为什么有时会看到奇怪的情况，如f（x）=10000000*x=O（x^2）

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对于较大的

n

，

f（n）>g（n）

，这才是真正重要的

使用极限规则验证

n^0.1=big omega（log^10（n））

的另一种方法

限制规则是：

极限为n->无穷大f（n）/g（g）

如果极限为正无穷大，f（n）！=O（g（n））&g（n）=O（f（n））或f（n）=大ω（g（n））

如果极限为0，f（n）=O（g（n））&g（n）！=O（f（n））

如果极限为正实数，则f（n）=O（g（n））&g（n）=O（f（n））或f（n）=大θ（g（n））

对于此问题：

设f（n）=O（n^0.1），设g（n）=log^10（n）

这给了我们一个极限：

限制为n->无穷大（n^0.1）/（对数^10（n））

使用L'Hospital关于限制的

10次规则，我们得到：

限制为n->无穷大（（0.1）^10*ln^10（b）*n^0.1）/（10！），其中b是日志的基础

因为n项只在分子中，所以极限接近无穷大

按限制规则

日志^10（n）=O（n^0.1）&n^0.1！=O（对数^10（n）或n^0.1=大Ω（对数^10（n））

“指数”的意思是当n在指数中时。这不是你在这里看到的。不过，这是一个有趣的问题，如果OP使用了0.1^n.：）+1来获得非常清晰的回答。在这些情况下，
n=10^k
替换通常会有所帮助。OP还可以考虑取<<代码> f>代码>和<代码> g < /代码>的索引；将
e^n
与
n^100
进行比较也会使分析更容易。