Performance 大O，一系列n个数求和的复杂性是什么？

我一直认为：

1+2+3+…+n

是O（n），两个n乘以n的矩阵求和将是O（n^2）

但今天我从教科书上读到，“根据前n个整数之和的公式，这是n（n+1）/2”，然后是：（1/2）n^2+（1/2）n，然后是O（n^2）

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我错过了什么

您有一个公式，它不依赖于要添加的数字的数量，因此它是一个常数时间算法，或O（1）

如果你一次加一个数字，那么它就是O（n）。公式是一条捷径；这是一种不同的、更有效的算法。当所添加的数字都为1..n时，快捷方式有效。如果你有一个非连续的数字序列，那么快捷公式就不起作用了，你必须回到逐个算法

但这些都不适用于数字矩阵。要添加两个矩阵，仍然是O（n^2），因为您要添加n^2个不同的数字对，以获得一个包含n^2个结果的矩阵。

n（n+1）/2是对n个整数的连续序列求和的快速方法（从1开始）。我想你把算法和大的oh符号搞混了

如果你认为它是一个函数，那么这个函数的最大复杂性是O（1）：

第一个整数的公共整数和（整数n）{ 返回（n*（n+1））/2； } 天真的实现将具有O（n）的巨大oh复杂性

第一个整数的公共整数和（整数n）{
整数和=0；
对于（int i=1；i而言，对N个任意整数求和与N个整数求和是有区别的。对于1+2+3+4+…+N，您可以利用这样一个事实，即它们可以用一个公共和分成对，例如1+N=2+（N-1）=3+（N-2）=…=N+1。这是N+1，N/2倍。（如果有一个奇数，其中一个将是不成对的，但只要稍加努力，你就会发现在这种情况下同样的公式成立。）

但这不是O（N^2）。它只是一个使用N^2的公式，实际上是O（1）。O（N^2）的意思是（大致上）计算它的步骤数增长像N^2，对于大的N。在这种情况下，不管N是多少，步骤数都是相同的。
一个问题实际上并不复杂，而是一个算法的复杂度

在您的例子中，如果您选择遍历所有数字，那么复杂性实际上是，
O（n）

但这不是最有效的算法。更有效的算法是应用公式-
n*（n+1）/2
，它是常数，因此复杂性是
O（1）
您混淆了运行时的复杂性和结果的大小（复杂性）

求和的运行时间，一个接一个，前n个连续的数字实际上是O（n）

但是结果的复杂性，即“从1到n的和”=n（n–1）/2的大小是O（n^2）


< p＞1，但对于任意大数，这是简单的，因为增加大数比增加小数字要长。对于精确的运行时分析，你确实必须考虑结果的大小。然而，这在编程中通常是不相关的，甚至在纯理论计算机科学中也不相关。在两个域中，求和数都是。通常被认为是一个O（1）操作，除非域另有明确要求（即，在为bignum库实现操作时）。
可用于确定任何函数的增长率

在这种情况下，这本书似乎不是在讨论计算值的时间复杂性，而是在讨论值本身

可以使用两种方法找到n个自然数系列之和的答案。第一种方法是将循环中的所有数字相加。在这种情况下，算法是线性的，代码如下所示

 int sum = 0;
     for (int i = 1; i <= n; i++) {
     sum += n;
   }
 return sum;

int和=0；
对于（int i=1；i，我猜这实际上是对的引用，它在
StringBuffer
实现中有这一段：

在每次连接时，将创建字符串的新副本，并且
一个字符一个字符地复制两个字符串
迭代要求我们复制
x
字符。第二次迭代
需要复制
2x
字符。第三次迭代需要
3x
，并且
依此类推。因此，总时间是
O（x+2x+…+nx）
。这减少了
到
O（xn²）
（为什么不是
O（xnⁿ)？因为
1+2+…n
等于
n（n+1）/2
或者，
O（n²）
）

无论出于什么原因，我在第一次通读时也发现这有点令人困惑。重要的一点是，
n
正在乘以
n
，或者换句话说，
n²
正在发生，并且占主导地位。这就是为什么
O（xn²）
最终只是
O（n²）
--
x

有点像是在转移注意力。

添加前n个数字：

以算法为例：

Series_Add(n)

   return n*(n+1)/2

Series_Add_pseudo(n):
   sum=0   
   for i= 1 to n:
      sum += i
   return sum

该算法确实在O（|n | ^2）中运行，其中| n |是n的长度（位），而不是大小，这仅仅是因为两个数字的乘法，k位中的一个和l位中的另一个在O（k*l）时间内运行

小心

考虑到该算法：

Series_Add(n)

   return n*(n+1)/2

Series_Add_pseudo(n):
   sum=0   
   for i= 1 to n:
      sum += i
   return sum

这是一种天真的方法，你可以假设这个算法在线性时间内运行，或者通常在多项式时间内运行。事实并非如此

n的输入表示（长度）为O（logn）位（除一元编码外的任何n元编码），算法（尽管在幅度上呈线性运行）在输入长度上呈指数运行。 这实际上是伪多项式算法的情况。它似乎是多项式，但不是

您甚至可以在python（或任何编程语言）中尝试它，使用中等长度的数字，如200位

应用第一种算法，结果会在瞬间出现，然后应用第二种算法，