如何在python中不使用逆分布函数手动生成Q-Q图

我有4种不同的分布，我已经将它们拟合到一个观察样本中。现在我想比较一下我的结果，找出最好的解决方案。我知道有很多不同的方法可以做到这一点，但我想使用分位数-分位数（q-q）图

my 4分布的公式如下：

式中，K0为第二类零阶修正贝塞尔函数，Γ为伽马函数

我的示例样式大致如下：（0.2、0.2、0.2、0.3、0.3、0.4、0.4、0.4、0.4、0.6、0.7…），因此我有多个相同的值，它们之间也有间隙

我已经阅读了这方面的说明，并尝试用python实现它们。所以，就像在链接中一样：

1） 我将数据从最小值排序到最大值

2） 我在区间（0,1）上计算了“n”个均匀分布的点，其中“n”是我的样本量

3） 这是我无法解决的问题

据我所知，我现在应该使用我事先计算的值（那些均匀分布的值），将它们放入上述分布的反函数中，从而计算我分布的理论分位数

以下是反函数（尽可能使用部分反函数进行计算），以供参考：

其中W是Lambert W函数，其后括号中的所有内容都是参数

问题是，显然，对于第一个分布不存在反函数。下一个可能会产生复杂的值（根下为负数，因为根据拟合b=0.55），最后两个值有一个Lambert W函数（我不知道如何在python中实现它们）

所以我的问题是，有没有办法不用逆分布函数的解析表达式来计算q-q图？

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如果您能给我任何帮助，我将不胜感激

一种更简单、更传统的方法是计算每个模型的对数似然，然后选择一个具有最大对数似然的模型。你不需要cdf或分位数函数，只需要密度函数，你已经有了

对数似然是对数p（x |模型）的和，其中p（x |模型）是给定模型下基准x的概率密度。此处“模型”=通过最大化参数可能值的对数似然来选择参数的模型

通过在参数空间上积分对数似然，同时考虑分配给每个模型的任何先验概率，可以对此更加小心；这将是一种贝叶斯方法

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听起来你基本上是想通过最小化Kolmogorov-Smirnov（KS）统计量来选择一个模型，尽管这个统计量的名字很重，但它非常简单——它是潜在分位数函数和经验分位数之间的差异。这是有道理的，但我认为比较日志可能性更为传统，也更为简单，因为您只需要pdf。

该死。。。抱歉，我一直专注于一个巧妙的解决方案，以某种方式绕过缺少的逆CDF，直接计算分位数（并避免任何数值方法）。但这也可以通过简单的暴力来实现

首先，您必须自己定义分布的分位数（例如，比原始分位数/经验分位数精确十倍）。然后需要计算相应的CDF值。然后，您必须将这些值逐一与问题中步骤2中计算的值进行比较。偏差最小的CDF值的相应分位数就是您要查找的分位数

此解决方案的精度受到您自己定义的分位数分辨率的限制

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但也许我错了，有一个更优雅的方法来解决这个问题，那么我会很高兴听到它

碰巧有一个更简单的方法。我花了一两天的时间才在scipy.stats中找到正确的方法。我找错名字了

首先，构建

rv_continuous

的子类来表示您的一个发行版。我们知道您的发行版的pdf，所以这就是我们定义的。在这种情况下，只有一个参数。如果需要更多，只需将它们添加到

def

语句中，并根据需要在

return

语句中使用它们

>>> from scipy import stats
>>> param = 3/2
>>> from math import exp
>>> class NoName(stats.rv_continuous):
...     def _pdf(self, x, param):
...         return param*exp(-param*x)
...     

现在创建这个对象的一个实例，声明其支持度的下限（即r.v.可以假定的最低值），以及调用的参数

>>> noname = NoName(a=0, shapes='param')

我没有一个真正的价值观样本可供使用。我将创建一个伪随机样本

>>> sample = noname.rvs(size=100, param=param)

对其进行排序，使其成为所谓的“经验cdf”

>>> empirical_cdf = sorted(sample)

该样本有100个元素，因此生成100个点，在该点处对反向cdf或分位数函数进行采样，如您参考的论文中所述

>>> theoretical_points = [(_-0.5)/len(sample) for _ in range(1, 1+len(sample))]

获取这些点的分位数函数值

>>> theoretical_cdf = [noname.ppf(_, param=param) for _ in theoretical_points]

把它全部画出来

>>> from matplotlib import pyplot as plt
>>> plt.plot([0,3.5], [0, 3.5], 'b-')
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x000000000921B400>]
>>> plt.scatter(empirical_cdf, theoretical_cdf)
<matplotlib.collections.PathCollection object at 0x000000000921BD30>
>>> plt.show()

>>从matplotlib导入pyplot作为plt
>>>plt.绘图（[0,3.5]，[0,3.5]，“b-”）
[]
>>>plt.散射（经验cdf、理论cdf）
>>>plt.show（）

这是结果的Q-Q图

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您的意思是您已经估计了一个或多个样本的每个密度函数的参数吗？@BillBell我已经根据一个样本计算了我函数的所有参数。Q-Q图用于比较两个样本（请参阅）。我怀疑您想要比较四个估计的CDF。@BillBell我想要比较我的4个计算函数/CDF和我的示例/ecdf。结果应如以下论文第7页图3的Q-Q图所示：谢谢您的回答！我知道对数似然估计，但我想创建q-q图（以及p-p图，但这更容易）