Python 在numpy或matlab中由满秩非方矩阵求可逆方矩阵

假设您有一个满秩的

NxM

矩阵

A

，其中

M>N

。如果我们用

C_i

（使用维度

Nx1

）表示列，那么我们可以将矩阵写成

A = [C_1, C_2, ..., C_M]

如何获得原始矩阵

A

的第一个线性独立列，以便构造一个新的

NxN

矩阵

B

，该矩阵是一个具有非零行列式的可逆矩阵

B = [C_i1, C_i2, ..., C_iN]

如何在matlab或python numpy中找到索引

{i1，i2，…，iN}

？这可以通过奇异值分解来实现吗？代码片段将非常受欢迎

编辑： 为了使这更具体，请考虑下面的Python代码

from numpy import *
from numpy.linalg.linalg import det

M = [[3, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 1, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 1], 
     [0, 2, 0, 0, 0]]
M = array(M)

I = [0,1,2,4]
assert(abs(det(M[:,I])) > 1e-8)

---

因此，给定一个矩阵M，我们需要找到一组线性独立列向量的索引。

我的第一个想法是尝试M列中N的每个可能组合。可以这样做（在Python中）：

如果需要列索引而不是结果的平方矩阵，只需将

return B

替换为

return colset

。或者您可以使用

return colset，B

获得这两个属性

我不知道SVD在这里会有什么帮助。事实上，我想不出任何纯粹的数学运算能将A转换成B（或者甚至能计算出MxN列选择矩阵Q，从而使B=A.Q），除了通过反复试验。但是，如果你想知道是否存在，math.stackexchange.com将是一个好去处

---

如果您所需要的只是一种计算方法，那么上面的代码就足够了。

简单，用MATLAB编程。使用QR，特别是旋转QR

M = [3 0 0 0 0;
     0 0 1 0 0;
     0 0 0 0 1; 
     0 2 0 0 0]

[Q,R,E] = qr(M)
Q =
     1     0     0     0
     0     0     1     0
     0     0     0     1
     0     1     0     0

R =
     3     0     0     0     0
     0     2     0     0     0
     0     0     1     0     0
     0     0     0     1     0

E =
     1     0     0     0     0
     0     1     0     0     0
     0     0     1     0     0
     0     0     0     0     1
     0     0     0     1     0

E的前4列指定要使用的M列，即[1,2,3,5]列。如果需要M的列，只需形成乘积M*E

M*E
ans =
     3     0     0     0     0
     0     0     1     0     0
     0     0     0     1     0
     0     2     0     0     0

顺便说一下，使用det来确定矩阵是否奇异是绝对、肯定、绝对最糟糕的方法

用等级代替

---

本质上，除非您理解为什么在MATLAB中使用det是一件非常糟糕的事情，并且您选择使用它，否则您实际上不应该在MATLAB中使用det。

无论谁否决了，请证明您认为此过程是错误的。我没有否决它，但它确实很昂贵。definite的计算成本很高：如果numpy提供，行减少会更好（我不知道）。更好的算法是归纳式的：假设n-1列是线性独立的。然后继续尝试下一个未使用的列，直到找到一个线性独立的列。重复一遍。请记住，即使您可能不必搜索所有这些内容（除非您这样做，否则它们不会被创建），也有M/（N！（M-N）！）您愿意在那里搜索的组合。我不知道Numpy是否也提供行减少。。。行列式只是我能想到的第一种确定列的线性独立性的方法，因为我找不到

秩

函数（当然有一个，但它并不像你想的那样）。我想我应该编辑一下，任何寻找列是否线性独立的过程都可以在那里工作。你想知道为什么这是一个糟糕的解决方案吗？此解决方案的问题是，根据M和N的值，其效率可能非常低。例如，当N=100和M=50时，可能有超过1e29个列的组合。用蛮力搜索专栏简直是疯了。考虑到QR分解中有一个非常好的解决方案，使用诸如蛮力搜索之类的低效算法是愚蠢的。更糟糕的是，我相信你最初的回答暗示了一个决定奇点的决定因素。det对于任何矩阵来说都是一件可怕的事情。从来没有人说过它在数学上是错误的。我认为，作为解决这个问题的一种方法，提出这样的建议是很糟糕的，并给出了一个很好的理由。如果Python中没有透视QR，那么仍然有其他选择。没有什么能阻止你提出格兰·施密特的变体，这和QR没什么不同。所以写一个旋转形式的GS，它只是说，你减去指向前面列的方向的分量，然后在剩下的最大的列上旋转。（这写起来很简单。）请注意，由于OP对python解决方案也很感兴趣，请参见这里的scipy的scipy.linalg.qr：

M*E
ans =
     3     0     0     0     0
     0     0     1     0     0
     0     0     0     1     0
     0     2     0     0     0