如何解决Python中的函数近似任务？

考虑[1,15]线上的复杂数学函数： f（x）=sin（x/5）*exp（x/10）+5*exp（-x/2）

n次多项式（w_0+w_1 x+w_2 x^2+…+w_n x^n）由其通过的任意n+1个不同点唯一定义。 这意味着它的系数w_0。。。w_n可由以下线性方程组确定：

其中x_1，…，x_n，x_{n+1}是多项式通过的点，由f（x_1），…，f（x_n），f（x_{n+1}）-它必须在这些点上取的值

我试图为三次多项式建立一个线性方程组（即，指定系数矩阵a和自由向量b），它必须与点1、4、10和15处的函数f一致。使用scipy.linalg.Solve函数求解此系统

A=整数数组（[1,1,1,1.]，[1,4,8,64.]，[1,10,100,1000.]，[1,15,225,3375.]））

V=numpy.数组（[3.25,1.74,2.50,0.63]）

numpy.linalg.solve（A，V） 我得到了错误的答案，那就是

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所以问题是：矩阵正确吗？

不，你的矩阵不正确

最大的错误是

A

的第二个子矩阵。第三个条目应该是

4**2

，这是

16

，但您有

8。

不太重要，您的常量数组

V

只有两位小数，但您确实应该有更高的精度。线性方程组有时对提供的值非常敏感，因此尽可能精确。另外，最后三个条目的四舍五入也很糟糕：你向下四舍五入，但你应该向上四舍五入。如果您真的需要两位小数（我不推荐），那么值应该是

V = numpy.array([3.25, 1.75, 2.51, 0.64])

但最好是

V = numpy.array([3.252216865271419, 1.7468459495903677,
                 2.5054164070002463, 0.6352214195786656])

通过对

A

和

V

的更改，我得到了结果

array([ 4.36264154, -1.29552587,  0.19333685, -0.00823565])

我得到了这两个sympy图，第一个显示原始函数，第二个使用近似三次多项式

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他们看起来离我很近！当我计算1、4、10和15的函数值时，最大的绝对误差是15，即

-4.57042132584462e-6

。这比我预期的要大一些，但可能已经足够好了。

是数据科学课程的吗？：） 这是我做的一个几乎通用的解决方案：

%matplotlib inline

import numpy as np;
import math;
import matplotlib.pyplot as plt;

def f(x):
    return np.sin(x / 5) * np.exp(x / 10) + 5 * np.exp(-x / 2)

# approximate at the given points (feel free to experiment: change/add/remove)
points = np.array([1, 4, 10, 15])
n = points.size

# fill A-matrix, each row is 1 or xi^0, xi^1, xi^2, xi^3 .. xi^n
A = np.zeros((n, n))
for index in range(0, n):
    A[index] = np.power(np.full(n, points[index]), np.arange(0, n, 1))

# fill b-matrix, i.e. function value at the given points
b = f(points)

# solve to get approximation polynomial coefficents
solve = np.linalg.solve(A,b)

# define the polynome approximation of the function
def polinom(x): 
    # Yi = solve * Xi where Xi = x^i
    tiles = np.tile(x, (n, 1))
    tiles[0] = np.ones(x.size)
    for index in range(1, n):
        tiles[index] = tiles[index]**index
    return solve.dot(tiles)

# plot the graphs of original function and its approximation
x = np.linspace(1, 15, 100)
plt.plot(x, f(x))
plt.plot(x, polinom(x))

# print out the coefficients of polynome approximating our function
print(solve)

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对于第1点、第4点、第10点和第15点（对不起，我不知道如何编辑命令，使其以列形式显示）w0+w1*1+w2*1^2+w3*1^3=sin（1/5）*exp（1/10）+5*exp（-1/2）w0+w1*4+w2*4^2+w3=sin（4/5）*exp（4/10）+5*exp（-4/2）w0+w1*10+w3=sin（10/5）*w0+w1*15+w2*15^2+w3*15^3=sin（15/5）*exp（15/10）+5*exp（-15/2）方程组：w0+w1*1+w2*1^2+w3*1^3=3.25W0+w1*4+w3*4^3=1.74W0+w1*10+w2*10^2+w3=2.50W0+w1*15+w2*15*15^3=0.63Roy，非常感谢！我真的很感谢你的帮助！你怎么这么快就做到了？：）@普利伍德：不客气。在您发布问题后不到一分钟，我就看到了您的问题，并且我已经安装并运行了Python副本（在Spyder中）。另外，我现在正在通过《用Python做数学》一书学习sympy，因此sympy的绘图机制在我脑海中是新鲜的。谢谢！谢谢你的帮助！如果有人知道如何改进python代码，请告诉我，我会更新答案。我不太喜欢A和polinom（x）的定义，但我没有找到更好的定义。嗨，瓦迪姆，你还记得为什么系数矩阵总是从1开始吗？比如[[1.1.1.][1.4.16.][1.15.225.]]对于在1,4,15中有x点的三级多项式？这是因为x的线性空间的第一个值是1，还是linalg.solve的某个常数？