Python：矩阵指数方程

我试图用Python实现以下等式

这是一个计算给定矩阵a和标量x的矩阵指数的方程。 当我将我的代码与scipy中的Python expm进行比较时，我的代码似乎不起作用

import math
import numpy as np
from scipy.linalg import expm

# Scalar x (will later on be for user input)

x = 1

matrix = np.array([[-5, 2, 3], [2, -6, 4], [4, 5, -9]])

# Using scipy to compute the matrix exponential (for comparison)

B = expm(matrix)
print(B)
    
# Defining the equation

def equation(n):
    y = ((pow(x, n) * np.linalg.matrix_power(matrix, n)) / int(math.factorial(n)))
    return y


# Summing the equation with finite iterations

result = sum([equation(n) for n in range(0, 1000)])
print(result)

我已经定义了矩阵

matrix=np.array（[[-5,2,3]，[2，-6,4]，[4,5，-9]]）

，通过scipy的expm函数，我得到了输出：

 [[0.3659571  0.35453832 0.27950458]
 [0.36527461 0.35510049 0.27962489]
 [0.36551524 0.35489926 0.27958549]]

但我对方程的实现给了我：

[[282.7927229097503 439.9138578271309 2167.1107527813792]
 [548.8430305150805 -1876.4510112837029 1328.9683527937962]
 [1753.0719360816013 3838.501983853133 -5590.574633487889]]

---

我已经盯着我的代码看了好几个小时了，但我最近才学会Python，所以我的技能非常有限。

这是因为精度的损失。事实证明，矩阵指数运算需要太多的项才能收敛（在本例中约为35），矩阵M^35已经分解了整数。使用相同的算法，让我们看看Julia是如何做到的：

julia> M = [-5 2 3; 2 -6 4; 4 5 -9]
3×3 Array{Int64,2}:
 -5   2   3
  2  -6   4
  4   5  -9

julia> exp(M)
3×3 Array{Float64,2}:
 0.365957  0.354538  0.279505
 0.365275  0.3551    0.279625
 0.365515  0.354899  0.279585

julia> term = (n) -> (M^n)/factorial(big(n))
#1 (generic function with 1 method)

julia> sum(term, 0:40)
3×3 Array{BigFloat,2}:
  282.793    439.914   2167.11
  548.843  -1876.45    1328.97
 1753.07    3838.5    -5590.57

julia> M^20
3×3 Array{Int64,2}:
 8757855768227185495   5428672870161680643   4260215435320685478
 2846510725988846806  -6309877790968251876   3463367064979405070
 1252813985306285990   3038127759137839419  -4290941744444125409

julia> M = Matrix{Int128}(M)
3×3 Array{Int128,2}:
 -5   2   3
  2  -6   4
  4   5  -9

julia> M^20
3×3 Array{Int128,2}:
   691287386495480595287   1259807269882411190531  -1951094656377891785818
  1423245804401624321238   2594681036602078525980  -4017926841003702847218
 -2710418564849997801562  -4940689283995021993669   7651107848845019795231

julia> sum(term, 0:40)
3×3 Array{BigFloat,2}:
 0.365246  0.353079  0.28076
 0.363873  0.353114  0.283013
 0.367464  0.358922  0.305631

从上面可以看出，当矩阵位于Int64和Int128中时，

M^20

的差别很大。实际上，它会悄悄地溢出整数，而不会引发异常。如果你把这些条件加起来，这也是你得到错误答案的原因

不幸的是，numpy没有像Julia那样的int128类型。但我们有128辆。因此，让我们修改您的代码，改为使用float128：

来自scipy.linalg导入expm的

>>
>>>将numpy作为np导入
>>>输入数学
>>>M=np.数组（[-5,2,3]，[2，-6,4]，[4,5，-9]]
>>>M
数组（[-5,2,3]，
[ 2, -6,  4],
[ 4,  5, -9]])
>>>expm（M）
数组（[[0.3659571,0.35453832,0.2795058]，
[0.36527461, 0.35510049, 0.27962489],
[0.36551524, 0.35489926, 0.27958549]])
>>>np.linalg.matrix_幂（M，20）
数组（[[8757855768227185495154286728701616806434260215435320685478]，
[ 2846510725988846806, -6309877790968251876,  3463367064979405070],
[ 1252813985306285990,  3038127759137839419, -4290941744444125409]])
>>>term=lambda n:np.linalg.matrix_幂（M，n）/float（数学阶乘（n））
>>>总和（[范围（40）内n的项（n）]）
数组（[[282.79272291439.913857832167.11075278]，
[  548.84303052, -1876.45101128,  1328.96835279],
[ 1753.07193608,  3838.50198385, -5590.57463349]])
>>>M=M.astype（'float128'）
>>>M
数组（[-5,2,3.]，
[ 2., -6.,  4.],
[4,5.，-9.]，数据类型=128）
>>>np.linalg.matrix_幂（M，20）
阵列（[[6.91287386e+20,1.25980727e+21，-1.95109466e+21]，
[1.42324580e+21,2.59468104e+21，-4.01792684e+21]，
[2.71041856e+21，-4.94068928e+21,7.65110785e+21]，
dtype=128）
>>>总和（[范围（40）内n的项（n）]）
数组（[[0.36595003,0.35452543,0.27952454]，
[0.36526005, 0.35507395, 0.279666  ],
[0.36554297,0.35494981,0.27950722]]，数据类型=float128）

同样，当数据类型不同时，可以看到矩阵

M

增加到20次方的差异。通过使用float，您失去了一些精度，但是您不会提前溢出并得到正确的答案，至少对于这个特定的矩阵

---

经验教训：如果scipy为您提供功能，请不要实现您自己的功能。人们在库中实现它是有原因的。

|首先尝试svd可能会有助于解决数字错误。非常感谢您，adrtam！我一定会问我的教授，他为什么要我们实现自己的功能，因为我知道这会发生。我想知道我班上的其他学生是如何处理这件事的。也谢谢你的解释。它确实帮助我理解了这个问题和它的技术细节。