Python 如何规范化numpy（实）傅里叶变换的频谱，从而应用parcevals定理？

目前，我正在考虑拍摄一张图像及其光谱。现在，帕切瓦尔定理说，两者的能量应该相等。然而，当我尝试在一些图像上测试这一点时，numpy real FFT函数似乎并非如此

这是我用于测试的代码：

import numpy as np
from PIL import Image

im = np.array(Image.open('/images/building.jpeg'))
spectral_im = np.fft.rfft2(im, axes = (0,1), norm = 'ortho')

def getNorm(im):
    return np.sum(np.abs(im))

print('Norm of the image: %d' % getNorm(im))
print('Norm of the spectrum of the image: %f' % getNorm(spectral_im))
print('Difference between norms: %f' % (getNorm(im) - getNorm(spectral_im)))

我希望每个图像的标准差（大约）为0，但是我尝试过的每个图像的标准差都有一个数量级。有人能看出我做错了什么吗

在答案的帮助下，下面是正确的代码（注意对float64的额外转换，否则它们仍然不相等）：

---

帕切瓦尔定理表明，信号的平方上的积分和傅里叶变换是相同的。因此，

getNorm

函数应定义为

def getNorm(im):
    return np.sum(np.abs(im)**2)

然后是FFT归一化问题。您需要通过图像区域（尺寸的乘积）对FFT进行规格化：

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最后，不要使用

rfft

来验证帕切瓦尔定理。rfft的问题在于它知道光谱是对称的，所以跳过了负半部分。但是，积分（和）中缺少这一半。这使得它听起来像应该关闭2倍，但事实并非如此，因为DC（平均值）分量被

rfft

完全保留（更多详细信息可以找到）。最好使用普通的FFT（

fft2

）并省去一些麻烦。

与帕切瓦尔定理中使用的形式相比，标准的前向FFT中有一个额外的因子

sqrt（N）

。考虑到这一点，可以使事情按预期进行：

x = np.random.rand(200, 100)
f = np.fft.fft2(x)
np.allclose(np.sum(x ** 2),
            np.sum(abs(f) ** 2 / x.size))
# True

x = np.random.rand(321, 456)
f = np.fft.fft2(x) / np.sqrt(321 * 456)
print(np.sum(np.abs(x)**2))  # 48654.563992061871
print(np.sum(np.abs(f)**2))  # 48654.563992061878

x = np.random.rand(200, 100)
f = np.fft.fft2(x)
np.allclose(np.sum(x ** 2),
            np.sum(abs(f) ** 2 / x.size))
# True