Wolfram mathematica 如何使DifferenceRoot和RecurrenceTable对非数值差分方程有用？

在今天早上的回答中，我遇到了

DifferenceRoot

和

RecurrenceTable

的非常糟糕的性能，而不是通过天真地获取指数生成函数的导数来计算表达式。非常少量的挖掘表明，

DifferenceRoot

和

RecurrenceTable

并不能简化表达式

例如，查看

RecurrenceTable

的以下输出，以及它是如何通过

展开结果来简化的：

In[1]:= RecurrenceTable[f[n] == a f[n - 1] + (a - 1) f[n - 2] && 
                        f[0] == 0 && f[1] == 1, 
                        f, {n, 6}]
% // Expand

Out[1]= {0, 1, a, -1+a+a^2, -a+a^2+a (-1+a+a^2), 1-a-a^2+a (-1+a+a^2)+a (-a+a^2+a (-1+a+a^2))}
Out[2]= {0, 1, a, -1+a+a^2, -2 a+2 a^2+a^3, 1-2 a-2 a^2+3 a^3+a^4}

这很快就会失控，正如第20次迭代的叶数（使用
DifferenceRoot
计算）所示：

这可以与实现进行比较

In[1]:= mem[n_] := a mem[n-1] + (a-1) mem[n-2] // Expand
        mem[0] = 0; mem[1] = 1;

In[3]:= mem20 = mem[20];//Timing
        LeafCount[mem20]
Out[3]= {0.48, Null}
Out[4]= 92

所以我的问题是：
是否有任何选项/技巧可以让
DifferenceRoot
和
RecurrenceTable
在执行时应用（简化）函数，从而使其对非数值工作有用

Edit:一个Sjoerd在下面指出，我愚蠢地选择了一个带有
RSolve
able封闭形式解决方案的示例。在这个问题中，我主要关注
DifferenceRoot
和
RecurrenceTable
的行为。如果有帮助的话，想象一下
f[n-2]
项乘以
n
，这样就没有简单的封闭形式的解决方案了。
我真的帮不上你的忙，因为我到目前为止还没有使用过这些函数，文档也没有给出任何线索。但是为什么不在这里使用
RSolve
？它为表中的每个元素提供了一个封闭形式的解决方案：

sol = f /. RSolve[f[n] == a f[n - 1] + (a - 1) f[n - 2] && 
                  f[0] == 0 && f[1] == 1, f, n
           ][[1, 1]]


Hi@Sjoerd，我选择差分方程只是为了显示
DifferenceRoot
和
RecurrenceTable
的问题，而不是因为我需要解决方案。例如，请参见中的多变量多项式，其中包括作为特殊情况的-这些多项式没有闭合形式。（也就是说，我可能应该选择一个没有闭合形式的非常数系数示例…）
sol = f /. RSolve[f[n] == a f[n - 1] + (a - 1) f[n - 2] && 
                  f[0] == 0 && f[1] == 1, f, n
           ][[1, 1]]

sol@Range[6] // Simplify