python中均匀随机变量和的概率密度估计

我有两个随机变量X和Y，它们均匀分布在单纯形上：

我想计算它们总和的密度：

在计算上述积分后，我的最终目标是计算以下积分：

为了计算第一个积分，我在单纯形中生成均匀分布的点，然后检查它们是否属于上述积分中的所需区域，并取点的分数来计算上述密度

一旦我计算了上面的密度，我就按照一个类似的程序来计算上面的对数积分来计算它的值。然而，这是非常低效的，需要很多时间，比如3-4个小时。有人能给我推荐一种用Python解决这个问题的有效方法吗？我正在使用Numpy软件包

这是密码

import numpy as np
import math
import random
import numpy.random as nprnd
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.backends.backend_pdf import PdfPages
#This function checks if the point x lies the simplex and the negative simplex shifted by z
def InreqSumSimplex(x,z):
    dim=len(x)
    testShiftSimpl= all(z[i]-1 <= x[i] <= z[i] for i in range(0,dim)) and (sum(x) >= sum(z)-1)
    return int(testShiftSimpl)

def InreqDiffSimplex(x,z):
    dim=len(x)
    testShiftSimpl= all(z[i] <= x[i] <= z[i]+1 for i in range(0,dim)) and (sum(x) <= sum(z)+1)
    return int(testShiftSimpl)
#This is for the density X+Y
def DensityEvalSum(z,UniformCube):
    dim=len(z)
    Sum=0
    for gen in UniformCube:
        Exponential=[-math.log(i) for i in gen] #This is exponentially distributed
        x=[i/sum(Exponential) for i in Exponential[0:dim]] #x is now uniformly distributed on simplex

        Sum+=InreqSumSimplex(x,z)

    Sum=Sum/numsample

    FunVal=(math.factorial(dim))*Sum;
    if FunVal<0.00001:
        return 0.0
    else:
        return -math.log(FunVal)
#This is for the density X-Y
def DensityEvalDiff(z,UniformCube):
    dim=len(z)
    Sum=0
    for gen in UniformCube:
        Exponential=[-math.log(i) for i in gen]
        x=[i/sum(Exponential) for i in Exponential[0:dim]]

    Sum+=InreqDiffSimplex(x,z)

    Sum=Sum/numsample

    FunVal=(math.factorial(dim))*Sum;
    if FunVal<0.00001:
        return 0.0
    else:
        return -math.log(FunVal)
def EntropyRatio(dim):    
    UniformCube1=np.random.random((numsample,dim+1)); 
    UniformCube2=np.random.random((numsample,dim+1))

    IntegralSum=0; IntegralDiff=0

    for gen1,gen2 in zip(UniformCube1,UniformCube2):

        Expo1=[-math.log(i) for i in gen1];        Expo2=[-math.log(i) for i in gen2]

        Sumz=[ (i/sum(Expo1)) + j/sum(Expo2) for i,j in zip(Expo1[0:dim],Expo2[0:dim])] #Sumz is now disbtributed as X+Y

        Diffz=[ (i/sum(Expo1)) - j/sum(Expo2) for i,j in zip(Expo1[0:dim],Expo2[0:dim])] #Diffz is now distributed as X-Y

    UniformCube=np.random.random((numsample,dim+1))

    IntegralSum+=DensityEvalSum(Sumz,UniformCube) ; IntegralDiff+=DensityEvalDiff(Diffz,UniformCube)

    IntegralSum= IntegralSum/numsample; IntegralDiff=IntegralDiff/numsample

    return ( (IntegralDiff +math.log(math.factorial(dim)))/ ((IntegralSum +math.log(math.factorial(dim)))) )

Maxdim=11
dimlist=range(2,Maxdim)
Ratio=len(dimlist)*[0]
numsample=10000

for i in range(len(dimlist)):
    Ratio[i]=EntropyRatio(dimlist[i])

将numpy导入为np
输入数学
随机输入
将numpy.random作为nprnd导入
将matplotlib.pyplot作为plt导入
从matplotlib.backends.backend\u pdf导入PdfPages
#此函数检查点x是否位于单纯形上，负单纯形是否移动z
单纯形（x，z）中的def：
尺寸=透镜（x）
testShiftSimpl=all（z[i]-1不确定这是否是您问题的答案，但让我们开始吧

首先，这里是一些代码示例，并讨论了如何通过
gammavariate（）
或通过
-log（U）
正确地从Dirichlet（n）（又称单纯形）采样，就像您所做的那样，但对潜在的角点情况有正确的处理

正如我所看到的，您的代码的问题是，比如说，对于采样维度=2
你得到了三个（！）统一的数字，但在对
x
进行列表理解时跳过了一个。这是错误的。要对n维Dirichlet进行采样，你应该精确地得到
n
U（0,1），然后进行变换（或
n
gammavariate的采样）

但是，最好的解决方案可能只是使用
numpy.random.dirichlet（）
，它是用C编写的，可能是最快的，请参阅

最后一个，依我的拙见，你没有正确估计
log（PDF（X+Z））
。好吧，你发现有些是，但是现在
PDF（X+Z）
是什么

是这样吗

testShiftSimpl= all(z[i]-1 <= x[i] <= z[i] for i in range(0,dim)) and (sum(x) >= sum(z)-1)
return int(testShiftSimpl)

你能给你看一下当前的代码吗？你对
n
的哪种值感兴趣？@MarkDickinson:我实际上对更高的n值感兴趣，比如100200等等。但是我需要绘制从n=2到200的所有值。这就是为什么我想让它更有效率。@MaxNoe:大约有100行python代码。我如何上传代码？Did你分析代码？实际需要多长时间？你可以使用
profilehooks
模块来分析。上述条件确保z-x位于单纯形区域，这是我们进行密度评估所需的。因此，我正在计算单纯形中满足上述条件的点的分数，这是pdf的估计值。同样，对于在单纯形中生成点，我并没有像你指出的那样使用Dirichlet分布过程。但我的过程是，如果U1，…，U_n+1以1的速率呈指数分布，那么（U1/U_1+…U_n+1，…，U_n/U_1+…+U_n+1）在单纯形上是一致的。这就是为什么我在理解列表时跳过一个。
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt

import math
import random

def simplex_sampling(d):
    """
    Sample one d-dim point from Dirichet distribution
    """
    r = []
    sum = 0.0

    for k in range(0, d):
        x = random.random()
        if x == 0.0:
            return make_corner_sample(d, k)

        t = -math.log(x)
        r.append(t)
        sum += t

    norm = 1.0 / sum

    for k in range(0, d):
        r[k] *= norm

    return r

def make_corner_sample(d, k):
    """
    U(0,1) number k is zero, it is a corner point in simplex
    """
    r = []
    for i in range(0, d):
        if i == k:
            r.append(1.0)
        else:
            r.append(0.0)

    return r

N = 500 # numer of points to plot
d = 3   # dimension of the space, 2 or 3

x = []
y = []
z = []

for k in range(0, N):
    pt = simplex_sampling(d)

    x.append(pt[0])
    y.append(pt[1])
    if d > 2:
        z.append(pt[2])

if d == 2:
    plt.scatter(x, y, alpha=0.1)
else:
    fig = plt.figure()
    ax  = fig.add_subplot(111, projection='3d')
    ax.scatter(x, y, z, alpha=0.1)

    ax.set_xlabel('X Label')
    ax.set_ylabel('Y Label')
    ax.set_zlabel('Z Label')

plt.show()