Python numpy的精度'；特征值sh

首先，我通过使用求（4000x4000）矩阵的特征值。然后，我改变了边界条件，只期望特征值有微小的变化

减去特征值容易受到浮点错误的影响，所以我使用了一些相对公差

现在假设我有一个特征值

a=1.0001e-10

，另一个

B=1.0050e-10

。根据我对浮点运算的拙劣知识，

A-B！=0

。问题是，这些数字来自线性代数计算，涉及许多数量级。例如，其他特征值的顺序可能是

1

问题是，使用

numpy.linalg.eigvalsh

计算的特征值的精度是多少？该精度是相对于值（

A*eps

）还是相对于最大特征值？或者相对于原始矩阵的元素

例如，该矩阵：

1      1e-20
1e-20  3

给出与此相同的特征值：

1     1e-5
1e-5  3

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我不确定是否在eigvalsh下面使用Lapack，但这可能会引起兴趣：

对称/非对称特征问题的Lapack误差范围：

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首先，解算器不精确。其次，您的示例矩阵条件较差：对角元素比非对角元素大几个数量级。这总是会引起数字问题

根据简单代数，第二个矩阵的行列式是

（1*3）-（1e5*1e5）=3-1e-10

。您已经可以看到精度问题实际上是最小元素精度的两倍。（这同样适用于特征值。）即使linalg使用双精度，因为解算器是近似的，您也会得到相同的答案。如果将小值更改为

1e-3

，则会看到差异，因为现在精度与数值近似值相当

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这是一个具体的问题。您可以在中看到如何使用Symphy以任意精度求解特征值

谢谢，@aka.nice这似乎是正确的方向。我对精度的理解是不是就像ε乘以最大特征值一样？是的，在对称情况下，我也这么理解。让我补充一下，通常在秩计算中，小于N乘以ε乘以最大特征值的特征值被认为等于零。（所有计算都在数量级上）。谢谢@tiago。这些矩阵只是一些例子，用来夸大手头的问题，而不是我实际使用的。问题不在于结果为何不同，也不在于如何解决。问题是特征值结果的有效性机制是什么，因为我想比较两个有微小差异的集合。你的回答完全不同。@jarondl，再看一眼，我确实错过了你问题的最后一段。。。我以为你更喜欢任意精度的线性代数。