Python numpy.linalg.solve和numpy.linalg.lu_solve之间的差异

要求解线性矩阵方程，可以使用

numpy.linalg.solve

它实现了LAPACK例程

根据文件

DGESV computes the solution to a real system of linear equations
    A * X = B,
 where A is an N-by-N matrix and X and B are N-by-NRHS matrices.

 The LU decomposition with partial pivoting and row interchanges is
 used to factor A as
    A = P * L * U,
 where P is a permutation matrix, L is unit lower triangular, and U is
 upper triangular.  The factored form of A is then used to solve the
 system of equations A * X = B.

但是，我们也可以使用

scipy.linalg.lu\u factor（）

和

scipy.linalg.lu\u solve（）

为了解决我们的问题，其中

lu\u factor（）

是

Compute pivoted LU decomposition of a matrix.

The decomposition is:

A = P L U

where P is a permutation matrix, 
L lower triangular with unit diagonal elements, 
and U upper triangular.

---

所以这两种方法显然是多余的。这种冗余有什么意义吗？对我来说似乎很困惑。

事实上你是对的：链接scipy的

scipy.linalg.lu\u factor（）

和

scipy.linalg.lu\u solve（）

完全等同于numpy的

numpy.linalg.solve（），在实际情况下，访问LU分解是一个很大的优势。

首先，让我们证明等价性。声明：

使用LAPACK例程_gesv计算解

事实上，包含LAPACK的精简版本。
然后，让我们来看看LAPACK的来源。计算矩阵的LU分解并用于求解线性系统。实际上，该函数的源代码非常清楚：对于输入检查，它可以归结为调用
dgetrf
（LU分解）和
dgetrs
。最后，分别包装
dgetrf
和
dgetrs
，包括
getrf、=get_-lapack_函数（（'getrf'，）、（a1，）
和
getrs、=get_-lapack_函数（'getrs'，）、（lu，b1））

正如@Alexander Reynolds所注意到的，LU分解可用于计算矩阵的行列式和秩。事实上，关于行列式，
numpy.det
调用LU分解\u getrf查看。然而，numpy使用SVD分解计算矩阵的秩

但是，使用LU计算秩并不是将接口公开给
dgetrf
和
dgetrs
的唯一原因。确实，在一些常见情况下，一次校准
dgetrf
，在内存中保留LU分解并多次调用
dgetrs
是一个决定性的优势。例如，看看。必须注意，计算LU分解比使用分解（N^2）求解线性系统花费更多的时间（N^3）。

让我们看一看求解耦合非线性方程组的，F（x）=0，其中F:R^N->R^N。执行牛顿-拉斐逊迭代需要求解一个线性系统，其中矩阵是雅可比矩阵J：


其中x{i+1}是未知的。雅可比矩阵J（x_i）的计算通常是昂贵的，而不是对系统必须求解的事实进行量纲化。因此，通常考虑拟牛顿法，其中建立了雅可比矩阵的近似值。一个简单的想法是，不要每次迭代都更新雅可比矩阵，只要剩余范数减少，就保持迭代在这样的过程中，
dgetrf
会不时被调用，而
dgetrs
会在每次迭代中被调用一次。有关方案，请参阅。让我们看一个例子：让我们试着从x_0=2开始解x^2=1。对于牛顿法的4次迭代，我们得到f（x_4）=9.2e-8和f（x_5）这是如何冗余的？并非每个LU分解都会立即进入解算器。类似地，如果你在使用LU矩阵，那么你有一个解算器可以用于当前的矩阵形式。如果不是为了解am方程组，为什么你要使用LU分解？你可以从LU分解中获得其他信息---行列式，秩，等等。但我看到它主要用于另一个方向——创建LU矩阵，然后用它解决系统。对于这些信息
numpy。linalg
提供了适当的函数。