Python 确定性傅里叶反褶积

我用numpy做傅里叶反褶积有点麻烦。我目前正在尝试使用一个3高斯的测试用例，这样我就可以确切地知道每一端会发生什么

我试图恢复的是给定滤波器和输出的精确形式的输入信号

这里，我使用了一个简单的约束来抑制高频端，将其设置为零（因为信号在傅里叶空间中也是高斯的）。由于这个限制，我希望通过一点点响声来恢复我的原始输入

#Dummy Case for Gaussian convolve with Gaussian

N = 128
x = np.arange(-5, 5, 10./(2 * N))
epsilon = 1e-18

def gaus(x,sigma):
    return 1./np.sqrt(2*np.pi)/sigma * np.exp(-(x * x)/(2 * sigma**2))

y_g = gaus(x,0.3)     #output gaussian blurred signal
y_b = gaus(x,0.1)     #gaussian blur filter
y_i = gaus(x,np.sqrt(0.3**2 - 0.1**2))   #og gaussian input

f_yg = np.fft.fft(y_g)    #fft the blur
f_yb = np.fft.fft(y_b)    #fft the filter
f_yi = np.fft.fft(y_i)

r_f = (np.fft.fftshift(f_yg)+epsilon)/(np.fft.fftshift(f_yb)+epsilon)      #deconvolve by division in fourier space
r_f[np.abs(x)>0.5] = 0    #naive constraint to remove the artifacts by knowing final form is gaussian

r_f = np.fft.ifftshift(r_f)

r_if = np.fft.ifft(r_f)
y_gf = np.fft.ifft(f_yg)
y_bf = np.fft.ifft(f_yb)
y_if = np.fft.ifft(f_yi)

plt.plot(x,y_if, label='fft true input')
plt.plot(x,r_if, label='fft recv. input')
plt.legend(framealpha=0.)
plt.show()

这里，橙色是使用输出和模糊的反卷积恢复的输入信号

对此，我有几个问题：

显然存在一个缩放问题。我认为这可能会出现的唯一方面是当我应用天真约束时。在这一步中，我是否应该重新规范化，知道傅里叶空间上的1/sqrt（N）*积分等于1

看起来恢复的高斯曲线的位置被曲线两边的一半弄乱了。这是因为傅里叶空间的分裂吗？我如何恢复原来的位置（或者我一开始做的完全错误）

我已经附加了用于生成两条曲线的脚本，原始输入和物理空间中恢复的输入

干杯， 基文

编辑：我应该补充一点，使用scipy.deconvolve+一些小的编辑来恢复图像没有问题。这一定意味着我这里的方法有点错误？

1）正如您正确理解的，缩放的要求与离散傅里叶变换有关。最好的方法是计算两个均匀单位信号的反褶积。他们的DFT是n0….，其中n是DFT的点数。因此，比值r_f为1 0 0，由

np.fft.ifft（）

计算的反向fft为1/n1/n1/n。。。 反褶积产生的正确信号应为1/t1/t1/T…，其中T=10。是框架的长度

因此，执行反褶积的正确比例为

n/T=len（r\u f）/10。

r_if=r_if*len(r_if)/10.

2） 反褶积信号被平移半个周期。这是因为高斯核位于帧的中间。只需将内核移动半个周期，问题就解决了。函数

np.fft.fftshift（）

可用于此目的：

f_yb = np.fft.fft(np.fft.fftshift(y_b))    #fft the filter

编辑：为了研究转换的原因，让我们关注反褶积核是非常窄的高斯分布的情况，几乎对应于狄拉克分布。您的输入信号是一条高斯曲线，以零为中心，采样帧在-5和5之间。类似地，反褶积核是一个以零为中心的狄拉克。因此，反褶积信号必须与输入信号相同：以零为中心的高斯曲线。然而，在FFTW中实现的DFT，以及因此

np.fft.fft（）

，在点10j/n处采样，其中j在[0..n-1]中，傅里叶空间中的频率为k/10，其中k在[0..n/2，-n/2+1..-1]中。因此，此DFT将信号视为以5为中心的高斯信号，反褶积核视为以5为中心的狄拉克。函数f（t）与以t0为中心的狄拉克δ（t-t0）的卷积就是平移函数f（t-t0）。因此，由

np.fft.fft（）

计算的反褶积结果是将输入信号转换半个周期。由于输入信号在[-5,5]帧中居中于0，因此由

np.fft.fft（）

计算的输出信号居中于-5（或由于周期性而等效于5）移动内核解决了我们认为帧是[-5]和

np.fft.ifft（）

像处理[0 10]一样处理帧之间的不匹配问题。

滤波器的设计通常是为了减少高频噪声的影响。因此，反褶积可能导致高频噪声放大。像你一样筛选频率是一个潜在的解决方案。请注意，这完全等同于使用特定滤波器对信号进行卷积

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在层析重建范围内，滤波后的反投影算法需要应用斜坡滤波器，这会极大地增加高频噪声。提出了一种：在给定卷积信号信噪比的情况下，这种滤波器可以设计成使反卷积信号的均方误差最小的滤波器。然而，它需要一些关于信号和噪声功率谱密度的假设

啊!！谢谢你的帮助。我意识到我的缩放问题在哪里。我有点不确定是否要改变内核。它肯定会给我带来我所期待的结果，但是它的理由是什么呢？不客气。我在答案中添加了几行来调查延迟是如何发生的。我明白了，谢谢你的补充意见！我意识到我也可以在中的离散卷积方程中看到这一点。