Recursion 确定递归函数的时间复杂度（大O表示法）

我需要帮助来确定递归函数的时间复杂度。我知道如何解决简单的案件，但我仍在努力学习如何解决较难的案件。这只是我想不出的几个例子。任何帮助都将不胜感激，并将对我的学习大有帮助，谢谢

int minPalindrome(string text){
    int left = 0;
    int right = text.size()-1;
    if(text=="")
        return 0;
    else if(isPalindrome(text,left,right))
        return 1;
    else{
        int minimum = text.size();
        for(int i=1;i<text.size();i++){
            minimum = min(minPalindrome(text.substr(0,i)) + minPalindrome(text.substr(i,text.size()-i)),minimum);
        }
    return minimum;
    }
}

int-minPalindrome（字符串文本）{
int左=0；
int right=text.size（）-1；
如果（文本==“”）
返回0；
else if（isAlindrome（文本，左，右））
返回1；
否则{
int最小值=text.size（）；
对于（int i=1；i方法1
设n表示字符串的长度，T（n）时间表示长度

显然，这些行动-

int left = 0;
    int right = text.size()-1;
    if(text=="")
        return 0;
    else if(isPalindrome(text,left,right))
        return 1;
    else{
        int minimum = text.size();

在恒定时间内发生（为方便起见，假设等于1）

然后循环需要时间
2*T（n-i）
对于不同的i，常数
2
会相乘，因为对于任何特定的长度都会进行两次函数调用，如下所示：

text.substr（0，i）
的长度等于其他一些i的
text.substr（i，text.size（）-i）
的长度

示例（如果您没有获得以上段落，则很重要）

如果有三个字母字符串“abc”

它将分为两部分

"a" and "bc" for   i=1 
"ab" and "c" for   i=2

因此将有2个函数调用，字符串长度为2（“bc”和“ab”）和1（“a”和“c”）

现在可以用上面的结果来推断-

   T(1)=1                   //constant time is taken when string is of one letter
   T(2)=1+2*T(1)            //it will be broken into two strings of length 1 which are used in function
   T(3)=1 + 2*T(2) + 2*T(1)     //it is broken as shown in example
       =1 + 2*(1 + 2*T(1)) + 2*T(1)
       =3  +  6*T(1)

同样地，我们得到

 T(n)=1 + 2*T(n-1) + 2*T(n-2) + .......
        =1 + (2 + 4*T(n-2) + 4*T(n-3)+....) + 2*T(n-2) + 2*T(n-3)..... //expanding T(n-1)
        =3 + 6*T(n-2) +6*T(n-3) +......
        =3 +(6 + 12*T(n-3)+....) +6*T(n-3) +....
        =9 + 18*T(n-3)+..... 
        =3^2 +(3^3-3^2)*T(n-3)+....

对于k将军，我们得到了

   T(n)=3^(k-1) + (3^k-3^(k-1))*T(n-k) +....
   T(n)=3^((n-1)-1) + (3^(n-1) -3^((n-1)-1))*T(n-(n-1) //for k=n-1
       =3^(n-2) + (3^(n-1)-3^(n-2))*T(1)
       =3^(n-1)  //As T(1)=1

这是所需的时间复杂性



方法2
查找函数复杂度的一种更简单的方法是声明一个初始值为零的整数，并在每次函数调用时递增。最后将该整数的值与n的值进行比较，得到时间复杂度。对于大多数函数来说，这通常有助于轻松查找时间复杂度

您可以全局声明整数（这不是一个好的做法，但应该适用于u，因为我们只需要找到时间复杂性），并每次递增它

int minPalindrome(string text){

    count++;      //count is global

    int left = 0;
    int right = text.size()-1;
    if(text=="")
        return 0;
    else if(isPalindrome(text,left,right))
        return 1;
    else{
        int minimum = text.size();
        for(int i=1;i<text.size();i++){
            minimum = min(minPalindrome(text.substr(0,i)) + minPalindrome(text.substr(i,text.size()-i)),minimum);
        }
    return minimum;
    }
}

时间复杂度很容易计算为3^（n-1）
您请求了“帮助”，但我看不到您试图解决此问题。请详细描述您设法解决的问题、您的困境等。
n            count
1              1
2              3
3              9
4              27
5              81