Time complexity GCD迭代欧氏算法的时间复杂度

下面是计算

m

和

n

的最大公约数的欧几里德算法的迭代实现

while（m！=n）
{ 
如果（m>n）
m=m-n；
其他的
n=n-m；
} 

---

上述代码的时间复杂度是多少？

最坏的情况至少在n+m中是线性的（因此输入的大小是指数的），因为我们可以选择m>1和n=1，以便该算法在精确的m-1迭代中正确地确定GCD（m，n）=1。这意味着最坏的情况是ω（m+n）=ω（2^k），其中k是输入编码中的位数

最坏的情况在m+n中最多是线性的（因此输入的大小是指数的），因为在每个步骤中，m或n至少减少1（假设n，m>0）。因此，循环最多可以迭代m+n次（事实上，它永远不会迭代那么多次，但肯定不会迭代更多）。这意味着最坏的情况是O（m+n）=O（2^k），其中k是输入编码中的位数

因此，最坏的情况在m+n中是完全线性的，也就是说，输入k的大小是指数的：它是θ（m+n）=θ（2^k）

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当一个以数字作为输入的算法的运行时间与输入值成多项式关系，但与输入编码的大小（如二进制）成指数关系时，该算法被称为在伪多项式时间内运行。

这里的输入是大小

log2（n）的数字
n
和
m

和

log2（m）

。时间复杂度表示为输入大小的函数。
一般来说，欧几里德算法的时间复杂度在输入大小上是线性的（例如，请检查），但在这种实现中，您有一个指数级的最坏情况运行时

假设

n>m

和

m=1

。这意味着代码将变为以下内容：

while (m != n) 
    { 
        n = n - m; 
    } 

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在最坏的情况下，您的迭代次数等于输入大小的指数

我想你在这里用‘n’表示两种不同的意思；在第一个示例中，您说n=1，然后它进行n-1次迭代。@kaya3您是对的，从外观上看应该是m-1。在这种情况下，如果我用O（n）等作为线性的同义词，可能也会让人困惑。比我的答案更好。输入大小实际上是位数，而不是输入数字的值。这只是伪多项式。