Time complexity 比较O（n&x2B；m）和O（max（n，m））的复杂度

我今天有个工作面试。被问及std:set\u交叉点的复杂性。我在回答时提到了这一点

O（n+m）

等于：

O（最大值（n，m））

有人告诉我这是不正确的。我试图证明与以下内容等价，但没有成功：

O（0.5*（n+m））≤ O（最大值（n，m））≤ O（n+m）

我的问题是：我真的错了吗？

对于所有的m，n≥ 0最大值（m，n）是有效的≤ m+n→ O（m+n）和m+n中的最大值（m，n）≤ 2max（m，n）→ O中的m+n（最大值（m，n））

因此O（max（m，n））=O（m+n）

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附录：如果f属于O（m+n），则存在常数D>0，对于足够大的m和n，f（n，m）你完全正确地认为O（n+m）等于O（max（n，m）），更精确地说，我们可以证明Θ（n+m）=Θ（max（n，m），它更严密，可以证明你的句子。数学证明是（对于大O和Θ）非常简单，易于理解，具有常识。因此，由于我们有一个

数学证明

，这是一种表达某事的方式，但定义更明确、更严格，而且

不会留下任何歧义

虽然你被（错误地）告知这是不正确的，因为如果我们想要非常精确，这不是合适的数学方法来表达最大值（m，n）的顺序与m+n相同。你使用了“等于”这个词来指大O符号，但大O符号的定义是什么

它被称为

集合

。说max（n+m）属于O（m+n）是 最正确的方法，反之亦然，m+n属于O（max（m，n））。在大O中 符号通常被用来表示m+n=O（max（n，m））

造成的问题是，你没有尝试引用函数的顺序，比如f是O（g），但是你尝试比较集合O（f）和O（g）。但是证明两个无穷集合相等并不容易（这可能会让面试官感到困惑）

当集合A和B包含相同的元素时，我们可以说它们是相同的（或相等的）（我们不尝试比较，而是引用它们包含的元素，因此它们必须是有限的）。当谈论大O集合时，甚至连识别都不容易应用

F的大O用来表示我们正在讨论的集合 包含阶数大于或等于F的所有函数。有多少个 有什么功能

当两个不同的集合在一起时，你怎么能说它们是相同的（或相等的） 无限，其实没那么简单

还有一件事，我们说过这些函数有相同的阶数，这在数学上是绝对正确的，但是当你尝试优化算法时，你可能需要考虑一些低阶因子，然后它们可能会给出稍微不同的结果，但渐近行为被证明是相同的

结论

正如你在（每所大学的所有cs课程或每本算法书中）读到的那样，大O/θ/Ω/ω/ο符号

帮助我们比较函数

并找到它们的增长顺序，而不是函数集，这就是为什么你被告知自己错了。虽然很容易说O（n^2）是O（n）的子集比较无限很难判断两个集合是否相同。Cantor致力于对无限集合进行分类，例如，我们知道自然数是可数无限的，实数是不可数无限的，所以即使两者都是无限的，实数也比自然数多。当对无限集合进行排序和分类，这更多的是一种数学研究，而不是一种比较函数的方法

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更新

你可以简单地证明O（n+m）等于O（max（n，m））：

对于属于O（n+m）的每个函数F，这意味着存在常数c和k，例如：

 F <= c(n+m) for every n>=k and m>=k

 F <= c*max(n+m) for every n>=k and m>=k

F=k和m>=k

然后还有：

 F <= c(n+m)<= 2c*max(n,m) 

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F我们将通过严格的Big-O分析证明，如果您在分析中选择了一个可能的增长参数，您确实是正确的。然而，这并不一定意味着面试官的观点是错误的，而是他/她对增长参数的选择不同。他/她提示您的答案完全不正确然而，ct是有问题的：您可能只是使用了两种稍有不同的方法来分析
std:：set_intersection
的渐进复杂性，这两种方法都导致了算法在线性时间内运行的普遍共识


准备工作
让我们先看看CPPFreference（强调我的）处的
std:：set_交叉点的引用




参数

last1
，
last1
-要检查的第一个元素范围

first2
，
last2
-要检查的第二个元素范围

复杂性

最多
2·（N1+N2-1）
比较，其中

N1 = std::distance(first1, last1)
N2 = std::distance(first2, last2)

其本身自然是线性的（最坏情况：无随机访问）

std:：距离


返回
first
和
last
之间的元素数

我们将继续简要回顾Big-O表示法的基本原理


大O记号
我们松散地陈述了函数或算法的定义
f
位于
O（g（n））
（为了挑剔，
O（g（n））
是一组函数，因此
f∈ O（…）
，而不是常用的
f（n）∈ O（…）
）

如果函数
f
位于
O（g（n））
，则
c·g（n）
是一个上限
约束于
f（n）
，对于一些非负常数
c，使得
f（n）≤
 F <= c*max(n+m) for every n>=k and m>=k

F <= c*max(n+m)<=2c(m+n) for every n>=k and m>=k

N1 = std::distance(first1, last1)
N2 = std::distance(first2, last2)

f(n) ≤ c · g(n), for all n ≥ n0,                                (+)

h(n, m) = 2 · (m + n - 1)

f(n) = 2 · (n + n - 1) = 4n - 2 > h(n,m)                         (*)

g(n) = n

f(n) = 4n - 2 < 4n = 4 · g(n)

f(n) < 4 · g(n) = c · g(n), for all n ≥ n0,                      (**) 

f ∈ O(g(n)) = O(n)

h ∈ O(g(n)) = O(n), assuming n > m                               (i)

h ∈ O(g(m)) = O(m), assuming m > n                                (ii)

O(max(m, n))