Time complexity 当实际时间复杂度是阶跃函数时，为什么二进制搜索的时间复杂度为O（logn）？

这是人们通常遇到的对数时间复杂度的定义：

对数运行时间

O（logn）

本质上意味着运行时间与输入大小的对数成比例增长

但在某些情况下，时间似乎并不严格地与输入大小的对数成比例地增长。例如，考虑二进制搜索。据说该算法的时间复杂度为

O（logn）

。我已经生成了大小从2到1000的数组，对于每个数组，我已经计算了最坏情况下的迭代次数（即数组拆分）。这就是结果

显然，实际的时间复杂度不是

log2（n）

（只有当

log2（x）

为整数时，两个函数才具有相同的输出

x

）

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所以我的问题是，为什么我们说二进制搜索算法有一个

O（logn）

复杂度，而时间复杂度实际上是一个阶跃函数？（从

1=n/2^x

开始的推导，经过一些代数运算后，最终得到

x=log2（n）

并没有解释原因）你的观察是对的。然而，big-O是渐近表示法。一般来说，在讨论时间复杂度时，我们对给出精确操作数的函数不感兴趣，但我们感兴趣的是时间如何随着输入大小的函数而增长，特别是对于输入大小

如果你花点时间去理解big-O的性质，你会发现一些有趣的性质。其中一个性质是O（f（n））=O（cf（n）+d）*，其中c>0，d是常数（如果f（n）不是常数）

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让我们从您的示例中获取阶跃函数s（x）。我们知道，对于任何x，log（x）-1你的观察是正确的。然而，big-O是渐近表示法。一般来说，在讨论时间复杂度时，我们对给出精确操作数的函数不感兴趣，但我们感兴趣的是时间如何随着输入大小的函数而增长，特别是对于输入大小

如果你花点时间去理解big-O的性质，你会发现一些有趣的性质。其中一个性质是O（f（n））=O（cf（n）+d）*，其中c>0，d是常数（如果f（n）不是常数）

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让我们从您的示例中获取阶跃函数s（x）。我们知道，对于任何x，log（x）-1，您还应该指定

d>=0

，否则您将允许O（1）=O（1+（-1）），这是不正确的。你仍然会允许O（0）=O（0+1），这也是不正确的，所以最好忘记“+d”部分。@kaya3谢谢你，是的，常数情况f（n）=c更复杂。为了简洁起见，我省略了它，因为我们在这里讨论的是logn。我将进行编辑以使您满意：）您还应该指定

d>=0

，否则您将允许O（1）=O（1+（-1）），这是不正确的。你仍然会允许O（0）=O（0+1），这也是不正确的，所以最好忘记“+d”部分。@kaya3谢谢你，是的，常数情况f（n）=c更复杂。为了简洁起见，我省略了它，因为我们在这里讨论的是logn。我将编辑到您满意的程度：）