Types 匹配时的Coq nat类型检查

我对第一个带有

O

的分支如何返回类型为

（0>0）->nat

的函数感到困惑。问题是：

如何将False与end

a

nat

匹配？似乎没有返回值？！那是什么意思？

我不是专家。但是从功能的角度来看，

pred1

的返回值是一个函数返回

nat

，而不是a

nat

。对于任何输入

n

，结果函数将

n>0

的证明

pf

转换为

nat

函数不需要（或不能）返回不存在参数的任何值。在极端情况下，当功能域为空时，编码域也为空（或可视为空）

这就是为什么当

pf

处于

False

（这是一个空类型）时，函数不能返回任何特定的

nat

值，并且它必须不返回任何内容

从语法上讲，如果将函数的简化版本与从

nat

到

nat

的函数进行比较：

Theorem nzgtz : ~ 0 > 0.
Proof.
unfold not.
unfold gt.
unfold lt.
intros H.
inversion H.
Qed.

Print nzgtz.

Definition pred1 (n : nat) : n > 0 -> nat :=
  match n with
 | O => fun pf => match (nzgtz pf) with end
 | S n' => fun _ => n'
 end.

与

p1

中的两个分支/构造函数相比，

p

中的

pf

的

False

证明没有与

匹配的构造函数（0个分支）

出于类似的原因，您可以使用
False
的证明来（真空地）证明任何事情
 将X与end进行匹配

是为了排除不可能的情况。实际上，读取

pred1

函数的零分支的典型方法是“这种情况不可能”

因此，不可能的情况不需要返回值

---

p、 学生：请注意，我无法想象一个

pred1

会有用的场景。

我理解这种直觉，但我希望非常严格。第一个分支的类型（n>0）->nat到底是什么？在Coq中，nat被定义为由零（O）及其后继者（S（0）、S（1）等）构成。没有与nat关联的“空”数量。虽然（0>0）的计算结果应为False，但函数是否仍应返回nat？@pyrrhic我认为您不能有意义地返回任何

nat

。如果您有一个函数

f:Empty->nat

，函数的图像/编码域应该是什么？由于域中没有可映射的内容，因此图像中无法显示或返回任何内容

False

是一个空类型，其中没有居住者。哦，

pred1

在教学中非常有用：）。它非常类似于中的

pred_strong1

函数，用作指导依赖类型编程，特别是子集类型的入门示例。@AntonTrunov这正是我要找的参考！！多谢各位@安东特鲁诺夫，我明白了！然而，我一点也不喜欢那一章，也不喜欢那种特殊的子类型方法；简单的模式应用会导致大量的证明无关问题，因此，从一开始就使用真正的子类型库更好，即使学习曲线更高。有这样的“真正的子类型库”的例子吗？看一个具体的例子来完全理解你的意思是非常有趣的。我说的“真”是指完整。我想很多人都有自己的想法，我用了这个：它的全部力量只会在以后出现（见tuple.v）。我的意思是，

pred pf1 n1=pred pf2 n2

什么时候成立？

Definition p : False -> nat :=
 fun pf => match pf with end.

Definition p1 : nat -> nat :=
 fun pf => match pf with 
   | 0 => 0
   | S p => p
end.