Vector 向量加法的误差估计

Kahan在第14页中指出，当两个交叉向量之间的角度接近零或π时，实际叉积与使用浮点算法计算的叉积之间的角度会降低，该角度测量了交叉向量所跨越平面法线的浮点计算误差。随着奇点的接近，浮点法线的正交性变得更加复杂。根据Kahan的说法，错误是：

|罪(∠（t_true，t_float））|≤ u+（2/√3） u | csc(∠（t_1，t_2））|

其中t_true是取叉积t_1后的真正交向量⊗t_2是无限精度，而t_float是使用浮点运算的叉积的结果，u是单位舍入

我的问题是：两个向量之和是否存在类似的不等式。也就是说，当要添加的向量之间的角度接近零或π时，浮点向量和距离真实方向有多远？在我的特定应用程序中，向量将是单位长度

---

编辑：我应该补充的是，两个向量之和的向量将被规范化

将

c

作为计算出的

v-w

，

e

是

c

和您想要计算的内容之间的差异，即

（v+deltav）-（w+deltaw）

。这里，

e

说明了计算中的舍入误差和输入中的近似误差

取

r

作为比率

|e | | | | |/| c |

。这必须小于1，否则我们根本不知道真正的解决方案在哪里

---

根据三角学，

c

和

c+e

之间的角度是

arccos（c^T（c+e）/sqrt（c^tc（c+e）^T（c+e））=arccos（（1+alphar）/sqrt（1+2 alphar+r^2）

，其中，

-1似乎属于两个向量的和，每个分量最多会减少1/2 ulp。这是因为你按分量计算和，并且该边界适用于浮点加法。如果你在寻找与和有关的其他对象的边界，请这样说。Patrick，我考虑过math.stackexchange.com，但这里决定，因为这是一个浮点问题。Tmyklebu，在规范化两个单位向量之和的向量后，我想计算真实向量和浮点计算产生的向量之间的最大角度。我希望将其与Kahan给出的叉积误差计算相关联。我认为在这个计算中，相对于输入向量不会有太大的误差。但是，这些向量可能是其他计算和转换的结果。最糟糕的情况是，如果它们几乎处于相反的方向，但不是完全处于相反的方向。（小）总和将由它们现有的舍入误差决定，当你进行标准化时，舍入误差将被放大。tmyklebu，感谢你的见解。问题：1）“e”是常数吗？2）如果不存在输入误差，“e”是否为单位舍入？3） “c”是单位长度吗？如果不存在输入误差，你可以得到一个更强的界限，因为斯特本茨定理告诉你，任何分量的大小都不会发生误差，因为它的大小会显著减小
e
不是一个常数；它是一个向量，是舍入误差（每个组件中最多有半个ulp）与输入误差（取决于应用程序）之和。换句话说，
e
是你想要计算的东西和你实际计算的东西之间的向量差。tmyklebu，我最初的问题是两个单位向量的加法，但你的答案是向量v-w的减法。这对错误界限有影响吗？