3d 三维到二维投影矩阵

我在3D空间中有3个点，我知道它们的确切位置。假设它们是：

（x0，y0，z0）

，

（x1，y1，z1）

和

（x2，y2，z2）

另外，我有一个摄像头，可以看到这三个点，我知道这三个点在摄像头视图平面上的二维位置。因此，例如

（x0，y0，z0）

将是

（x0'，y0'）

，

（x1，y1，z1）

将是

（x1'，y1'）

，

（x2，y2，z2）

从相机的角度来看将是

（x2'，y2'）

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找到将这些3D点投影到摄影机视图平面上的2D点的投影矩阵的最简单方法是什么。我们对摄像机的位置一无所知。

这将为您提供两个集合，每个集合包含三个变量中的三个方程：

a*x0+b*y0+c*z0 = x0'
a*x1+b*y1+c*z1 = x1'
a*x2+b*y2+c*z2 = x2'

d*x0+e*y0+f*z0 = y0'
d*x1+e*y1+f*z1 = y1'
d*x2+e*y2+f*z2 = y2'

只要使用在你的情况下最简单的联立方程组求解方法就行了（用手求解这些方程甚至不难）。那么你的变换矩阵就是（（a，b，c）（d，e，f））

实际上，这过于简化了，并且假设摄影机指向三维坐标系的原点，而没有透视图

对于透视图，转换矩阵的工作原理更像：

               ( a, b, c, d )   ( xt )
( x, y, z, 1 ) ( e, f, g, h ) = ( yt )
               ( i, j, k, l )   ( zt )

( xv, yv ) = ( xc+s*xt/zt, yc+s*yt/zt ) if md < zt;

所以你应该有4个点来得到8个方程来覆盖摄像机位置和角度的6个变量，还有1个用于缩放二维视点，因为我们可以消除“中心”坐标（xc，yc）

因此，如果您有4个点，并将二维视点转换为相对于显示器的中心，那么您可以得到13个变量中的14个联立方程并求解

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不幸的是，其中六个方程不是线性方程。幸运的是，这些方程中的所有变量都被限制在-1和1之间的值，因此解决这些方程仍然可能是可行的。

我认为没有足够的信息来找到最终的解决方案。在不知道相机位置和视图平面的情况下，有无数个矩阵可以解决此问题。

您的相机（至少）有7个自由度-3个用于位置，3个用于方向，1个用于视野。如果我错了，我肯定会有人纠正我，但3分似乎不足以解决问题

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要获得此问题的通用解决方案，请在Graphics Gems II中查找“视图相关性”。

您要查找的是一种姿势估计算法。查看OpenCV中的POSIT实现：

您将需要四个或更多点，并且它们可能不在同一平面上

此实现的教程如下所示：

但请注意：在本教程中使用了方形视口，因此所有视图坐标都在-1，-1到1,1范围内。这导致人们假设这些应该在相机坐标系中（在纵横比校正之前）。情况并非如此，因此如果使用纵横比为4:3的视口，则输入坐标应在-1.3333，-1到1.3333,1范围内

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顺便说一下，如果您的点必须位于同一平面上，那么您也可以查看OpenCV中的CameraCalibration算法，但这需要更多的设置，需要更多的点作为输入。不过，它也会为您提供相机的失真信息和固有参数。

这不是我的家庭作业！不，他的意思是，有无限多的矩阵，可以满足你对给定点集的要求。要解决此问题，您可能需要更多的点，也可能需要更少的自由度（例如，固定摄影机的FOV）。如果您知道摄影机的视图平面（与摄影机的Z距离），使用这些点，您可以计算出摄影机的位置，因为它只是3条线的交点。从那里，我认为矩阵的轴可能可以计算。你的解决方案可能是我找到的解决问题的最佳答案。请详细描述一下解决方案的第二部分。xv和yv也是md和zt以及xt-yt-zt。感谢lot7通常是正确的，尽管有些系统允许FOV有两个参数：垂直和水平。通常它们彼此成比例（即4:3屏幕=4:3视场比），但在某些情况下，如果用户愿意，这可能会出现偏差。

a*a+b*b+c*c = e*e+f*f+g*g = i*i+j*j+k*k = 1
a*a+e*e+i*i = b*b+f*f+j*j = c*c+g*g+k*k = 1