Algorithm 如何计算由N个元素组成的数组的所有切片的数量？

给定的

N

元素数组

A=[a1，a2，…，aN]

。切片是相邻元素的任意序列。像

[a1], [a1,a2], [a1,a2,a3], ... , [a1, a2,...,aN],[a2,a3], [a3,a4], ....

如何计算数组中所有切片的计数？

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是否有一个公式可以获得数量？

由于切片是由起始索引和结束索引确定的，这与询问可以从n+1元素（计算第0个和第n个索引）中选取多少个不同的对相同，其中对的顺序并不重要

即计数，“n+1选择2”的公式为：n（n+1）/2

注意：这不包括空切片。如果要对这些数据进行计数，并且如果空片的索引不同，则应分别对空片进行计数，则这是对多组2进行计数（作为开始/结束索引，则可以相等）。然后，您应该在上述结果中添加额外的n+1。

让

S（n）

是n个元素数组的所有切片的计数。 然后

S（n）=n*（n+1）/2

用数学归纳法证明。 1.基本

n=1

A = [a1]

切片数为1<代码>S（1）=1*2/2=1 2.设

S（n）=n*（n+1）/2

3.检查

S（n+1）=（n+1）*（n+2）/2

n+1

元素的数组为

[a1,a2,...,aN,a(N+1)]

它有n个元素的数组切片

[a1，a2，…，aN]

加上新切片：

(a(N+1)), (a(N+1), aN), (a(N+1), aN, a(N-1)), ... , (a(N+1),aN,...,a1)

新切片的计数（具有内部元素

a（N+1）

）为

N+1

。 因此，所有切片的计数等于n个元素数组的切片计数加上

n+1

S(n+1) = S(n) + n+1 = n(n+1)/2 + n+1 = (n^2 + n + 2n + 2)/2=(n^2+3n+2)/2

将

n+1

替换为

n

到步骤2中的公式中，我们得到：

S（n+1）=（n+1）（n+1+1）/2=（n+1）（n+2）/2=（n^2+3n+2）/2

。 它证明了这个公式

它还提供了有用的关系：

S(n+1) - S(n) = n + 1

n+1

和

n

元素数组的切片计数的意义差异为

n+1

。 示例：

A1 = [a1], A2 = [a1,a2] S(1)= 1, S(2)=3 and S(2)-S(1)=2=1+1, n=1
A3 = [a1,a2,a3], S(3)=6, S(3)-S(2)=3=2+1, n=2
A4 = [a1,a2,a3,a4], S(4)=10, S(4)-S(3)=4=3+1, n=3