Algorithm 求大数的组合

从N个礼物中选择k个礼物的有效方法是什么，其中N可以非常大（N~10^18）。也就是说，我们必须计算N（C）K或N选择K。K也可以是N的数量级。

我想没有快速的方法来计算这么大的数。您可以使用来近似它

C（n，k）

的值可以接近

2^n

。（好吧，数量级更小，但这在这里并不重要）

重要的是要存储数字

2^（10^18）

，您需要

10^18

位或

~10^17

字节。
您可能需要调整问题定义，因为没有这样的计算机

---

其他人已经指出了近似公式，在这里可以将结果存储为浮点数，这样就不会花费过多的内存。

Stirling公式只有在您有进一步的渐近信息，如

k~n/3

或

k~log n

时才有用。如果没有关于你的具体问题的进一步信息，你将不会得出任何关于斯特林公式的信息

对于前面提到的问题，当k和n很大（甚至不是很大）时，计算C（n，k）最直接的方法是使用

log C(n, k) = log (n!) - (log (k!) + log ((n - k)!))

及

事实上，log gamma的实现非常容易，然后您就可以

C(n, k) = exp (f(n + 1) - f(k + 1) - f(n - k + 1))

其中

f=log gamma

---

你可以在数值配方中找到计算对数伽马的数值算法，有一个旧版本可用，你可以在第6章中找到一个示例实现。

由于多样性是生活的调味品，另一种方法如下。价值 （N选择K）/2^N接近正态分布，平均值为N/2，标准偏差为Sqrt[N]/2，并且速度非常快。因此，我们可以将（N选择K）近似为 2^N*Normdist（x，0,1）/std，其中x=（k-N/2）/std，std是Sqrt[N]/2。
Normdist（x，0,1）=Exp（-x^2/2）*1/（Sqrt（2*Pi））

就误差而言，数值越大，误差越大，使用N作为113（？）进行快速检查，最大误差为最大系数的百分比，小于0.3%

---

不说它比使用斯特林公式好，但认为它可能会避免一些n^n计算，而计算这些系数的对数是一个非常简单的计算。

如果我们不知道k和n的比较，看看斯特林公式是没有用的。@Alexandre C:哈，你怎么能这么说？斯特林公式近似于

n。所以你大概是
n！，K和（n-k）
并获得
n！/（k！*（n-k）！）
。如果你想对
C（n，k）
的行为有一个渐近的感觉，那么，是的，你需要
k
和
n
之间的关系，但是为了近似，不。@Jason：计算3倍log gamma非常快，可能与pow+exp+sqrt相当。斯特林公式（和斯特林级数）的威力在于，当你知道k和n的行为时，它可以让你得到精确的渐近解。对于近似阶乘，您有更好的选择。“一个好的开始是，”亚历山大C：我不否认这一点。如果我们不能将
k
与
n
进行比较，我就否认你所说的斯特林公式是无用的。@Alexandre C:看，这就是我不同意你的观点。我并不否认你的说法，你给出的近似值更好（这是众所周知的，这是直接从数值公式中得出的）。我否认你所说的斯特林近似是无用的。还请注意，对于许多应用程序，存储
ln（C（n，k））=lngamma（n+1）-lngamma（k+1）-lngamma（n-k+1）
可能会让你更开心。溢出的可能性要小得多。你能解释一下伽马是什么吗？我不熟悉它的标准功能？或者它只是由gamma（n+1）=n！定义的@克里斯：伽马（x）=积分（exp（-t）t^（x-1）dt，t=0..无穷大）。伽马（n）=（n-1）！通过部分积分保持。有很多计算伽马或对数伽马的快速方法。啊，谢谢。现在这听起来有些模糊。我想这可能是一个连续的函数，在这些离散点上工作，但检查起来总是很好。：）感谢Alexandre，只要加上这些，就可以得到Log（N选择K）=（4*K-（4*Power（K，2））/N+Log（2）+N*（-1+Log（4））-Log（N*Pi））/2，这应该是这里最快的算法（如果不是最好的话）。
C(n, k) = exp (f(n + 1) - f(k + 1) - f(n - k + 1))