Algorithm 最小生成树。唯一最小边与非唯一证明

因此，我有一个练习，我应该证明或反驳：

1） 如果e是连通图G中的最小权边，且并非所有边都是不同的，则G的每个最小生成树都包含e

2） 与1）相同，但现在所有边权重都不同

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直观地说，我知道，对于1）来说，因为不是所有的边权重都是不同的，所以一个顶点可能有一条边e的路径，但也有另一条边e_1，如果权重（e）=权重（e_1），那么就有一个生成树，它不包含边e，因为图是连通的。否则，如果e_1和e都在最小生成树中，则存在一个循环

对于2）由于所有边权重都是不同的，那么最小生成树当然会包含边e，因为任何算法都会选择较小的路径

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关于如何证明这两个问题，有什么建议吗？就职不知道如何接近

实际上，在你的第一个证明中，当你说如果e和e|1都在G中，那么就有一个循环，那不是真的，因为它们是最小边，所以不必有循环，你确实需要将它们都包含在MST中，因为如果| e|>1和| V|>2，那么它们都必须存在

无论如何，第一个例子的反例是一个完整的图，所有边的权重都与e相同，MST将只包含| V |-1边，但没有包含所有其他相同权重的边，因此存在矛盾

至于第二条，如果所有边都是不同的，那么如果删除最小边并希望重建MST，唯一的方法是添加一条边，连接由该最小权重边分解的两个不相交集

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现在假设您没有删除最小权重边，并添加了另一条边，现在您已经创建了一个循环，并且由于所有边都是不同的，因此创建循环的边将大于所有边，因此如果您从该循环中删除任何以前的MST边，它将只会增加MST的大小。这意味着当所有边都有不同的权重时，几乎所有以前的MST边都是关键的。

要反驳某些东西，只需给出一个反例。为（1）找到一个应该很容易。证明（2）更为复杂。我发现一个很好的方法是用矛盾证明：假设有一个图G，它的唯一最小权边不在任何MST中（请记住，可能不止一个（除非你能证明）。如果您能展示如何将这些“最小”生成树中的每一个都变成权重更低的生成树，那么您就展示了一个矛盾，即。，唯一的最小权重边必须存在于每个图的每个MST中。@j_random_hacker现在我想起来了，只有当图不包含一个顶点，这样连接到另一个顶点的唯一路径是e时，才不会被反驳吗？当你在最初的问题中说“并非所有边都必须是不同的”时，你的意思是“并非所有的边都有不同的权重”，对吗？当然，每一条边都有一个与其他边不同的标识。@j_random_hacker不介意我把这个问题想错了…所以声明是，通常所有最小生成树都有最小边e*（不一定是不同的）将包含e和我，用一个三顶点树来反驳，所有树都以相同的权重相互连接。