Algorithm T（N）=2T（N）的大O− 1） +N，T（1）=2

如何得到大O的这个

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我得到了答案O2^N或ON^2的两种变体，但我不确定如何正确地解决它

将答案插入方程式中进行检查

2^N = 2.2^(N-1) + N = 2^N + N

或

只保留主要术语，你就有

2^N ~ 2^N 

或

总结。

将TN除以2^N，并将结果命名为：

S(N) = T(N)/2^N

从TN的定义我们得到

这意味着SN增加，但很快收敛到一个常数，因为N/2^N->0。所以

或

详细证明

在下面的评论中，Paul Hankin建议如何完成证明。取等式1，从N=2到N=M求和

因此，在取消索引为N=2，3，…，M-1的项之后，我们得到

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因为右边的级数收敛，因为它的项在已知收敛的N>>1的1/N^2范围内，所以SM收敛到一个有限常数。

这是一个数学问题，Leandro Caniglia是正确的

设bn=Tn/2^n

因此bn=bn-1+n/2^n=bn-2+n/2^n+n-1/2^n-1

i/2^i对于每个整数i小于1

所以它们的总和是有限的，必须小于某个常数

因此bn 因此，Tn<2^n*C

很明显，Tn>=2^n

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所以Tn是O2^n

很好的证明，但有一点不准确：fi->0并不意味着sumfi=1..无穷收敛。例如，fi=1/i。但是当N>=10时，可以显示N/2^N<1/N^2，并且sum1/N^2收敛，所以sumN/2^N收敛。使用单调收敛定理。谢谢@PaulHankin，我已经完成了证明。

2^N ~ 2^N 

N^2 ~ 2 N^2.

S(N) = T(N)/2^N

S(N) = S(N-1) + N/2^N                                  (eq.1)

T(N)/2^N -> constant

T(N) = O(2^N)

sum_{N=2}^M S(N) = sum_{N=2}^M S(N-1) + sum_{N=2}^M N/2^N
                 = sum_{N=1}{M-1} S(N) + sum_{N=1}^{M-1} (N-1)/2^{N-1}

S(M) = S(1) + sum_{N=1}^M N/2^N - M/2^M