Algorithm 毛虫和树叶。我们能比O（n*c）做得更好吗？

在准备面试时发现此问题

假设一些毛虫从底部开始，跳到下一片叶子。他们 在跳到下一片之前先把叶子吃掉。我们得到了一个表示跳转步骤的数组 由毛毛虫制成。如果数组为[2,4,7]，则表示毛虫[-0]将吃掉树叶2,4,6。。 毛虫[1]会吃树叶4,8,12。。毛虫会吃掉7,14,21…0代表地面。 计算未食用树叶的数量

让我们假设，如果当前叶子被吃掉，毛虫会跳到下一个目的地。这意味着，如果毛虫[7]发现树叶28被吃掉，它将继续吃掉树叶35

设c为毛虫的数量，n为树叶的数量

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显而易见的蛮力解决方案是为每个毛虫迭代大小为n的布尔数组，如果被吃掉，则将其标记为true，否则标记为false。它需要O（n*c）时间。我们能做得更好吗？

一只毛虫会吃掉它所有的“跳跃步”

j

，因此，如果它是单独的，那么每只毛虫都会吃掉地板（n/j）叶子

现在你必须弄清楚你数过几次的树叶。例如，如果计算第一条毛毛虫可除以2的所有叶子，则不必计算第二条毛毛虫的任何叶子，第二条毛毛虫跳4乘4

对于两个项目，计算两次的数字是两个项目的倍数，其中有

floor（n/lcm（j，j'））

请注意，对于三个术语，如果您进行此计算，可能会删除一些项两次：让我们在您的示例中取28。跳转步骤7时，毛虫会吃掉它，但其他两个都会被吃掉（因为28%4==28%2==0），因此您需要添加多次删除的倍数：

floor（n/lcm（j，j'，j”）

你可以在这里看到一个模式，它是。一般公式如下：

假设Aj是一只毛虫用跳跃步骤j（如果它是单独的）吃掉的叶子。那么对于j一组多个捕捉器跳跃集，Aj是所有这些毛虫吃掉的叶子集

让我们也将集合的最小公倍数定义为集合中所有元素的最小公倍数，这样我们就可以编写

lcm（J）

包含排除公式中的[n]是考虑到的毛虫跳跃的集合，因此在你的例子中，

[2,4,7]

，我们迭代它的所有子集。

|J |

是子集的大小，| AJ |是J中每个毛虫可以吃的叶子的数量的大小，因此我们得到| AJ |=

地板（n/lcm（J））

现在您有了2c项*，因为这是

c

毛虫的子集数。请注意，通过保存最不常见的倍数，而不是从头开始重新计算，可以节省一些时间

我把编写实际代码作为“练习”，正如一些人喜欢说的那样：它基本上是在子集上迭代并计算最小公倍数，然后将其全部放在上面的总和中

这可以得到吃过的叶子的总数。从这里得到未吃过的叶子是很简单的

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如果我们在一个小示例上进行此操作（以便能够进行检查），0位于地面，

1..24

树叶，而

[2,3,4]

caterpillar跳跃步骤

唯一幸存的叶子是{1,5,7,11,13,17,19,23}：去掉所有偶数和所有可除以3的数。也就是说，我们希望答案是8

• 第一轮：大小为1的子集。
  • Caterpillar

    j=2

    一个人会吃掉24/2=12片树叶
  • 卡特彼勒

    j=3

    一个人会吃掉24/3=8片树叶
  • Caterpillar

    j=4

    一个人会吃掉24/4=6片树叶
• 第二轮：大小为2的子集。
  • 毛虫

    j=2

    和

    j=3

    都想吃24/6=4片叶子：{6,12,18,24}
  • 毛虫

    j=3

    和

    j=4

    都想吃24/12=2片叶子：{12,24}
  • 卡特彼勒

    j=4

    和

    j=2

    都想吃24/4=6片叶子：所有被

    4

    吃掉的叶子都是

    2

• 第三轮：大小为3的子集：所有毛虫一起
  • 他们都想吃24/lcm（2,3,4）=24/12=2片叶子：{12,24}
• 最后一轮：12+8+6-4-2-6+2=26-12+2=16片叶子被吃掉

因此，24-16=8片树叶仍然存在

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*当然，这是最坏的情况。希望您将迭代大小不断增加的子集，并且只要子集J的最小公倍数大于

n

，您就可以忽略该J的所有超集。特别是，如果大小

k

的所有子集的lcm都大于n，则可以停止迭代

这是关于你提到的O（n*c）算法，如果你仔细看的话，就是O（n logc）

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一只毛虫吃掉了它的“跳跃步”j的所有倍数，因此，如果它是单独的，那么每只毛虫都会吃掉地板（n/j）叶子

这种复杂性受到以下因素的限制：

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n+n/2+n/3+…+n/c这只是对@cimbali建议的方法的优化。从包含caterpillar步幅的数组中。您可以从该数组中删除步幅值的倍数，以减少找到的组合数

例如，24叶和[2,3,4]毛虫跳跃步

• 第一步： 穿过步幅阵列并移除2的倍数。因为4是2的倍数。从阵列中移除4

• 第二步：大小为1的子集。 毛虫j=2只会吃掉24/2=12片叶子 毛虫j=3只会吃掉24/3=8片树叶

• 第三步：大小为2的子集。 毛虫j=2和j=3都想吃24/6=4片叶子：{6,12,18,24}

所以24-16（12+8-4）=8片叶子仍然存在