Algorithm 合并排序的大复杂性

我有一个关于合并排序的大Oh的讲座，我很困惑

所显示的是：

0合并[]=n

1合并[]=（n/2+n/2）=n

2次合并[n/4][n/4][n/4][n/4]=2（n/4+n/4）=n

log（n）merges=n

总计=（n+n+n+…+n）=lg n =O（n对数n）

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我不明白为什么（n+n+…+n）也可以表示为n的对数基数2，以及它们是如何得到2个合并=2（n/4+n/4）

你的树有一个深对数（n）和一个宽n.：）

日志部分是“在只剩下一个元素之前，我可以将数据分成两部分多少次？”这是递归树的深度。n的倍数来自这样一个事实：对于树中的每一个级别，您将在该级别上的所有合并步骤之后查看数据集中的每个元素

recurse downwards:
    n unsorted elements
  [n/2][n/2] split until singletons...
  ...
merge n elements at each step when recursing back up
  [][][]...[][][]
  [ ] ... [ ]
  ...
  [n/2][n/2]
  n sorted elements

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在1合并的情况下，有两个子数组需要排序，其中每个子数组需要的排序时间与n/2成比例。从这个意义上讲，要对这两个子数组进行排序，需要与n成比例的时间

类似地，当您进行2次合并时，将对4个子数组进行排序，其中每个子数组将花费与n/4成比例的时间，这将再次汇总为n

类似地，如果有n合并，则需要与n成比例的时间对所有子数组进行排序。从这个意义上讲，我们可以将merge sort所花费的时间写如下

T（n）=2*T（n/2）+n

您将了解，此递归调用可以深入（例如高度h）直到

n/（2^h）=1

。通过在这里取log，我们得到h=log（n）。这就是log（n）如何来到现场的。此处log取自基数2

由于您有log（n）步骤，其中每个步骤所花费的时间与n成比例，因此所花费的总时间可以表示为

n*log（n）

在大O表示法中，我们将其作为上界

O（nlog（n））

。希望你有这个想法

下面的递归树图像将进一步启发您。

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在你的问题中写的以下部分的最后一行

0合并[]=n

1合并[]=（n/2+n/2）=n

2次合并[n/4][n/4][n/4][n/4]=2（n/4+n/4）=n

n merges=n——这行不正确

这是错误的。您将不会有大小为n的总共n个合并，而是大小为n的日志n个合并

在每个级别上，您将问题大小划分为两个大小为一半的问题。当你继续潜水时，你能做的总分割是对数n。（怎么做？假设可能的总分割数是x，那么n=2x或x=Log2n。）

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因为在每个级别上，您总共做了O（n）个功，因此对于Log n级别，所有完成的功的总和将是O（n Log n）。

这非常简单。正如您所演示的，每次合并都采用O（n）。您需要执行的合并数是log n（以2为基数），因为每次合并都会使已排序的节的大小加倍。

log（n）的深度是多少？对于这个令人困惑的答案，很抱歉@Imesha Sudasingha带来了一张关于深度和宽度的可爱图表。他们告诉我们，很明显，它也可以写得同样大哦：哦，也许，从来没有看到过它，n的基数2是分裂数据集的次数，直到只剩下单例。每个级别都有“n”，因为在特定级别的所有合并步骤中，您最终会迭代每个子数组的整个部分。我承认，伊姆沙的回答更为具体。希望我能帮上一点忙。你是以某种方式生成了这棵树还是找到了它？我很好奇。@synchronizer：这是一张常见的图片。我在我自己的一本书里用过。