Algorithm 找到集合S，它使S并集A中点之间的最小距离最大化

我想找到一个给定基数k的集S，最大化每个点与给定集a之间的最小距离。有没有一个简单的算法来求解这个最大-最小问题

给定一个宇宙X⊆ R^d和A⊆ 十、 

查找argmax{S⊆十、 | S |=k}min{S⊆S、 是的≠s⊆ s∪A} 距离（s，s'）

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谢谢

这可能是NP难的。贪婪地选择距离先前选择最远的点是2-近似。在Arora和Mitchell的欧几里德TSP方案的基础上，可能存在一个复杂的低d近似方案。对于d=10，请忘记它。

搜索的前两个结果

球形填料np完全

引用了1981年的一篇论文，证明了2d中的最佳填料和覆盖是np完全的。我没有访问研究图书馆的权限，所以我不能阅读这篇论文。但我希望你的问题可以重新表述为那个问题，在这种情况下，你有一个证明，你有一个NP完全问题。

对于给定的k，以X和a作为输入，暴力强迫显然在p中（因为C（| X |，k）是| X |中的多项式）

如果k也是一个输入，那么它可能取决于“距离”：

如果“距离”是任意的，那么您的问题相当于在图中找到一个固定大小的团（这是NP完全的）：

NP硬度：

以集团问题为例，这是一个图（G，E）和一个整数k。 向该图中添加一个与其他每个顶点相连的顶点“a”，让（G'，E'）成为修改后的图

（G'，E'）k+1是你的第一个派系问题的等价实例

创建一个从G'到R^d的映射Phi（无论如何，您可以将G'映射到N…），并定义“距离”，使距离（Phi（c），Phi（d'））=1，如果（c，d）⊆ E'，否则为0

X=Phi（G'），A=Phi（{A}），k+1给出问题的一个实例

你可以通过构造s注意到这一点≠ φ（a）距离（s，φ（a））=1=最大距离，即最小值⊆S、 是的≠s⊆ s∪A} 距离（s，s'）=min{s⊆S、 是的≠s⊆ S} 如果| S |=k>=2，则距离（S，S'）

解决问题的这个实例（X，A，k+1）：这会给你一组基数k+1，使得min（距离（S，S'）|S，S'⊆ S、 ≠s'）是最大的

检查是否有⊆ S、 ≠s'，距离（s，s'）=0（这可以用k^2表示为| s |=k）：

• 如果是这种情况，则不存在基数k+1的集合，使得对于所有s，s'距离（s，s'）=1，即不存在G'的子图，G'是k+1-团
• 如果不是这样，则将s映射回G'，根据“距离”的定义，φ^-1（s）的任何顶点之间都有一条边：这是一个k+1团

这是一个多项式约化的问题，相当于集团问题（称为NP难）

NP易用性：

让X，A，k成为你问题的一个例子

对于X min_{S的任意子集S⊆S、 是的≠s⊆ s∪A} 距离（s，s'）只能取{距离（x，y），x，y中的值⊆ 十} -它有一个多项式基数-

为了找到一个最大化这个距离的集合，我们将以递减的顺序测试每个可能的距离，以获得一个正确的集合

为了测试距离d，我们首先将X减少到X'，只包含距离>=d的点{点本身}

然后我们创建一个图（X'，E）·其中（s，s'）⊆ E iff距离（s，s'）>=d

测试这个图的k-团（这是NP容易的），通过构造有一个iff，它的顶点是一个带有min_{s的集合⊆S、 是的≠s⊆ s∪A} 距离（s，s'）>=d

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如果“距离”是欧几里德的，或者有任何有趣的性质，它可能在p中，我不知道，但如果我是你，我不会希望太多

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·我假设X（因此X'）在这里是有限的

用于估计复杂性，d~10，| X | ~10^4，| A | ~100，k~10我可以恭敬地问这是一个家庭作业问题，还是一个研究问题？这是一个研究问题。我真正的问题更复杂，但我用一种简洁的方式表达了出来。它来源于一类序列非凸优化问题，这是一类球面布局问题，这些问题往往是无法解决的。当然，在离散的情况下，暴力总是存在的，但可能没有比这更有用的了。好吧，我不确定它的复杂性。我们能有证据吗？还是只是一种“感觉”？我现在使用这个近似值。如果它是一个NP难问题的2-近似，那就好了。一般图中相应的问题是从独立集直接归约的目标。