Algorithm 在未排序的只读数组中查找中值

给定一个包含

n个
元素的只读数组，用
O（logn）
空间和平均时间
O（nlogn）
查找数组中的中位数（大小为
上限（n/2）
-th个元素）


数组中的元素不同
数组未排序
不能更改数组中的任何值，只能读取它们

我曾考虑过使用快速排序的思想，但如果不更改数组，就不可能执行它。复制到另一个数组将超出所需的空间。
您可以使用分治方法解决该问题，在最小值和最大值之间找到一个随机元素，检查它是否为中间值，中间值是否低于或高于它，并仅在数组的子范围上将问题缩小

将
min
设置为数组中的最小元素，将
max
设置为最大元素

在范围内选择一个随机数
mid
（
min
），如果没有这样的
mid
，则
min
或
max
为中间值，找到中间值，然后完成操作

检查
min
、
mid
或
max
是否为中位数（线性搜索，计算大小）

3.1。如果是这样，你就完了

3.2。否则，中位数介于
（最小值，中间值）
或
（中间值，最大值）
之间，并且您知道在哪里（如果更多值高于中间值或低于中间值）

3.3。如果它在
（最小，中间）
，则设置
max=mid
，否则，设置
min=mid

3.4。返回到2


正确性：


如果算法找到一个数字，那么stop子句只是因为找到了中间值
对于每次迭代，中值仍然在
（min，max）
（带归纳法的形式证明…），并且范围保证在每次迭代中缩小，因此算法保证停止并产生一些结果


时间复杂性：


步骤1：仅重复一次，并花费
O（n）
时间
步骤2：花费
O（n）
时间（查找范围内的不同数字）并重复每次迭代
步骤3：花费
O（n）
时间（通过每个范围是线性的）

平均情况下有
O（logn）
迭代（类似于二进制搜索推理）

这给了我们时间复杂度
O（nlogn）


空间复杂性：

依赖于实现，但使用尾部递归（类似于上面的高级伪代码）实际上可以是
O（1）
。对于正则递归，这是堆栈的
O（logn）
。
这里是一个简单的算法。它包括通过跟踪中位数所在区间的上下限来搜索中位数

设E为元素列表。将中值的上下限L和U设置为null

对于e中的每个元素e

如果L不为空且eU，e不能为中间值，则跳到下一个元素
扫描E并计算E之前元素的数量B，以及E之后元素的数量A
如果A=B，e为中间值，则终止。如果A=B+1，则没有单个中间值，但e在中间值点之前终止。如果B=A+1，则不存在单个中间值，但e在中间值点之后立即终止
如果A>B，中位数在e之后，设置L=e。如果B>A，则中值在e之前，设置U=e
空间复杂度为O（1）。平均时间复杂度最多为O（n2）和O（nlogn）

例如：

E = [2 4 7 9 0 6 5]
       L,U = null,null  Initial state.
e = 2  L,U = 2,null     Update L.
e = 4  L,U = 4,null     Update L.
e = 7  L,U = 4,7        Update U.
e = 9  L,U = 4,7        Skip 9.
e = 0  L,U = 4,7        Skip 0.
e = 6  L,U = 4,6        Update U.
e = 5  Median is 5      Terminate.

我不知道你的意思，但我必须将所有元素插入到两个堆中，这将需要O（n）spaceVoting才能重新打开正如目前所写的，很难准确说出你在问什么，问题陈述非常清楚。OP展示了他的两种方法，并解释了它们失败的原因（展示了自我研究）。如果其中一位投票人能解释他们的重新投票，我会很高兴的。@amit我正要问同样的问题，我想要一个算法，在给定的数组中找到中间值而不改变，我想知道他们为什么要结束这个问题！！谢谢你的回答。您能再解释一下为什么堆栈的内存中需要另一个O（logn）@Robert此解决方案需要
O（1）
额外的内存，但如果您将其移动到递归调用，而不将其优化为尾部递归，则会有
O（logn）
递归调用，每个调用都会将一些变量推送到调用堆栈，从而为您提供
O（logn）
space。这似乎是amit提出的算法的一个更难阅读的版本，20多分钟后发布。@tucuxi好吧，也许吧，但它更详细。amit只给出了高层次的步骤。我建议的算法可能更容易实现。