Algorithm 计算数组中按位“0”的无序对数；及；是O（n）或O（n*log（n））中的2的幂

如何计算数组中按位和为

2的幂的无序对数。例如，如果数组是
[10,7,2,8,3]
。答案是
6
。
说明（基于0的索引）：


a[0]&a[1]=2
a[0]&a[2]=2
a[0]&a[3]=8
a[0]&a[4]=2
a[1]&a[2]=2
a[2]&a[4]=2

我想到的唯一办法就是暴力。如何优化它以在O（n）或O（n*log（n））中执行

对数组大小的限制最大为
10^5
。该数组中的值最多可为
10^12

这是我试过的暴力代码

intans=0；
for（int i=0；i
将值数组转换为索引集数组，其中每个索引集对应于特定位，并包含具有该位集的原始集合中的值的索引。例如，示例数组A=
[10,7,2,8,3]
变成B=
[{1,4}、{0,1,2,4}、{1}、{0,3}]
。固定大小的位向量数组是实现这一点的理想数据结构，因为它使集合并集/交集/集合减号相对容易且高效

一旦你有了集合B的数组（需要O（nm）时间，
m
是整数的大小，以位为单位），再次迭代A的每个元素i，计算∑j|Bj&setminus；i&set减号&大杯子；kBk:k≠J∧i&in；Bk |：i&in；北京。把这些加在一起，除以2，这应该是对的数量（“除以2”是因为它计算每对两次，因为它计算的是每对数字的数量）。应该只取O（nm2），假设将set减号运算计算为O（1）——如果将它们计算为O（n），则返回到O（n2），但如果有有效的位集，则至少常数因子应该很小

伪代码：

foreach A[i] in A:
    foreach bit in A[i]:
        B[bit] += {i}

pairs = 0
foreach A[i] in A:
    foreach B[j] in B:
        if i in B[j]:
            tmp = B[j] - {i}
            foreach B[k] in B:
                if k != j && i in B[k]:
                    tmp -= B[k]
            pairs += |tmp|

return pairs/2

虽然这个答案适用于较小的范围约束（可能适合2^20左右），但我认为我应该添加它，因为它可能会添加一些有用的信息

我们可以调整，使其具有
O（2^N*N^2+N*N）
复杂性的解决方案，其中
N
是范围内的位数，
N
是列表中的元素数。（因此，如果整数被限制为[11048576]或2^20，且
n
为100000，则我们的迭代次数为2^20*20^2+100000*20=421430400次。）

我们的想法是，我们想要计算具有重叠比特子集的实例，并添加一个固定的集合比特。给定
Ai
——为了简单起见，取
6=b110
——如果我们要找到所有的伙伴，并且为零，我们将取
Ai
的否定

110 -> ~110 -> 001

现在，我们可以构建一个动态程序，该程序采用递减蒙版，从整数开始，向左递减蒙版

001
^^^

001
^^

001
^

Ai
反运算中的每个设定位代表一个零，可以与1或0进行AND运算，以达到相同的效果。
Ai
反运算中的每个未设置位表示
Ai
中的一个设定位，我们只想将其与零配对，但单个设定位除外

我们通过分别检查每个可能性来构造这个集合位。因此，在哪里计算那些将和
Ai
为零的配对，我们可以做如下的事情

001 ->
  001
  000

我们现在要列举

011 ->
  011
  010

101 ->
  101
  100

每次修复一个位

我们可以通过向内部迭代添加维度来实现这一点。当掩码的末尾确实有一个设置位时，我们通过只计算将设置位的前一个DP单元的结果来“修复”相关位，而不是通常的子集的并集，这些子集可以设置位或不设置位

下面是一些JavaScript代码，与蛮力解决方案进行对比，并在最后进行测试


var调试=0；
函数bruteForce（a）{
让答案=0；
for（设i=0；iconst dp=新数组（1假设有m个值不是2的幂。然后有m*（m+1）/2个无序的值对，当和在一起时不是2的幂。@ChrisHall 6和3不是2的幂。根据你的陈述，有2*3/2=3个无序的值对，当和在一起时不是2的幂。但是对于输入，[6，3]，有零对这样的无序配对，一对当和在一起时是2的幂。你能澄清一下吗？@啊，大脑衰退..2的幂不是2的倍数：-（很抱歉。好的。我们正在寻找无序对，它们正好有一个共同点。需要更多的思考。
a
中的值的界限是什么？因为可能有O（n2）这样的无序对，很难在更短的时间内生成它们，但如果你只想计算存在的数量，这是可能的。对不起，我不理解你的数学符号。你能用一个例子来说明，正如你在句子第一部分解释的，基本上显示所有加在一起除以2的内容吗？好的，所以我ink我修复了它，并添加了伪代码来说明algorithm@ChrisDodd：
B
中的每个集合的大小可以与
n
成比例。通过
B[j]-{i}计算子集<