Algorithm 在一个数组中交错三个大小相等的分区，并在O（n）时间内就位

给定一个大小为3n的数组

[x1, x2, x3... xn, y1, y2, y3... yn, z1, z2, z3... zn]

将其转换为

[x1，y1，z1，x2，y2，z2，…xn，yn，zn]

这里xn，yn，zn可以是任何整数。请参阅下面的输入和输出示例

两个约束条件

O（n）中的Do

O（1）内存（就地）

输入和输出示例如下所示

输入：

[5,8,11,3,2,17,21,1,9]

3n=9。所以n=3

这里

x1=5x2=8x3=11y1=3y2=2y3=17z1=21z2=1z3=9

输出：

[5,3,21,8,2,1,11,17,9]

一个可能的O（n log n）解决方案：

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只考虑x和y。现在我可以将所有y换到它的位置，这将使x2、x4、x6换出位置。然后我将交换x2，x4，这将使x3，x7离开位置。下一次迭代是x8，x16。这将把我带到O（n log n）而不是O（n）。

这个答案基于作者的工作（他的参考书目非常不完整，但我不想花时间来整理原位移位问题的历史）。注意3是25=5^2的基本根，因为

>>> len(set(pow(3,n,25)for n in range(25)))
20

20是欧拉的25的总和。根据数论中经典的Jain定理1，3是所有5^k的本原根

当数组长度为3n时，元素在位置k*n+j处的新位置为3*j+k。一般来说，i的新位置（最后一个元素除外）为（i*n）%（3*n-1）。注意，n是3模3*n-1的乘法逆，因此3是本原根当且仅当n为

在这种情况下，Jain的观察结果是，如果3*n-1是5的幂，那么上面的排列有log_5（3*n-1）+1个不同的循环，k从0到log_5（3*n-1）由5^k引导。（这或多或少是基元根的定义。）对于每个循环，我们所要做的就是移动引线，移动引线置换的元素，移动引线置换的元素，等等，直到我们返回引线

对于其他数组大小，将数组分解为长度为3的O（对数n）隐式子数组和可被3:6、126、3126、78126等整除的1加5次幂。执行一系列旋转，以几何方式减小大小，以使子数组连续，然后运行上述算法

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如果您实际实现了这一点，请对其进行基准测试。我对Jain算法的基本情况（3^n-1，成对而不是三元组）进行了测试，发现，在我的机器上，对于非银河系输入大小，O（n logn）时间算法更快。当然是YMMV。

因为David似乎对写下来不感兴趣（很明显，他感兴趣，请看另一个答案：），我将使用它来为3个分区的情况得出一个算法

首先请注意，如果我们可以使用算法A有效地解决某个m

x1 .. xm x{m+1}.. xn y1 .. ym y{m+1} .. yn z1 .. zm z{m+1} .. zn

我们想把它重新安排到

x1 .. xm y1 .. ym z1 .. zm x{m+1} .. xn y{m+1} .. yn z{m+1} .. zn

这基本上是模式

AaBbCc

到

ABCabc

的转换，其中a、B、C和a、B、C分别具有相同的长度。我们可以通过一系列的逆转来实现这一点。让X'表示字符串X的反转：

   AaBbCc
-> Aa(BbCc)' = Aac'C'b'B'
-> Aac'(C'b')'B' = Aac'bCB'
-> A(ac'bCB')' = ABC'b'ca'
-> ABCb'ca'
-> ABC(b'ca')' = ABCac'b
-> ABCa(c'b)' = ABCab'c
-> ABCabc

可能有一个更短的方法，但这仍然是一个恒定的操作数，所以它只需要线性时间。这里可以使用更复杂的算法来实现一些循环移位，但这只是一种优化

现在我们可以递归地求解数组的两个分区了，我们完成了

问题仍然是，什么样的m能让我们很容易地解出左边的部分

为了解决这个问题，我们需要认识到我们想要实现的是数组索引的一个特定的p。每个排列

a0->a1->…->a{k-1}->a0

，其中P（ai）=a{（i+1）%k}。它很容易处理这样一个循环到位，算法概述

现在的问题是，在您完成了一个周期的处理之后，要找到一个元素，它是您尚未处理的周期的一部分。对于这个问题没有通用的解决方案，但是对于某些特定的排列，有一些很好的公式来描述作为不同循环一部分的位置

对于您的问题，您只需选择m=（5^（2k）-1）/3，这样m 我们递归地解决剩余的右半部分，并得到一个算法来及时解决问题

T(n) = O(m) + T(n - m)

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因为m>=Omega（n），我们得到T（n）=O（n）。

我做了研究。我有O（nlogn）解决方案，但不能超过that@AlexandruSeverin我想你被x1，x2。。。x的y和z可以是任意随机数。它与排序无关——也许是重复的（尽管答案有点糟糕）——。也。（如果你把它改成

x，y，z

变成

a，b，c

，谷歌搜索起来会非常容易。）@Dukeling肯定是相关的，但一般的问题可能比Nx3难很多。特别是循环顺序取决于N和M，对于M=3可能比任意MAlso更容易实现。抱歉，低估了蜂巢思维交付所需的时间：|我测试了两种尺寸，一种是1000，另一种是10米。你是对的，对于1000，O（n logn）更快。