Algorithm 给定一个DP问题，我如何证明它等价于其他DP问题？

这里我有一个DP问题（比如问题1），我认为它相当于其他DP问题（比如问题2）。我怎样才能正式证明这些事实是等价的，而不仅仅是直觉

从一组大小不同的岩石开始，反复选择两块岩石，将它们击在一起，如果它们的大小相同，则会导致两块岩石的破坏；如果a是较大岩石的大小，b是较小岩石的大小，则会导致a-b大小的较小岩石。你重复，直到有一块石头。问题是要找到一系列的岩石撞击，从而产生尽可能小的残留岩石

问题2是将数组划分为两个子集，使两个子集之间的差异最小

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我如何证明这两个问题是等价的？归纳法是一种方法吗？但我想不出一种通过归纳法来证明等价性的结构？

回答你问题的具体部分：如何证明“岩石撞击”和“最小化分区差异”之间的等价性

如果你已经找到了解决“砸石头”问题的方法，那么你就有一系列的石头砸。您可以将其转化为将岩石分成两组的分区，其中分区大小之间的差异是最终岩石的值，如下所示：

在每一块石头上写下每一块石头的大小。当你把两块石头砸在一起，较大的上面写着“E”，较小的写着“F”，然后在较大的石头的剩余部分写上“（E-F）”，丢弃较小的石头。（如果两块岩石的尺寸相等，则在其中一块现在尺寸为零的岩石上写上“（E-F）”，然后丢弃另一块）

最后，你还剩下一块石头。展开所有括号，将正尺寸的岩石尺寸放在A组中，将负尺寸的岩石尺寸放在B组中

例如，如果有大小为7、5、4的岩石，则从以下开始：

rock{size=7, text="7"}
rock{size=5, text="5"}
rock{size=4, text="4"}

假设您同时击打5和4，您现在有：

rock{size=1, text="(5-4)"}
rock{size=7, text="7"}

现在，将较小的碎片撞击到7号岩石上，留下：

rock{size=7, text="(7-(5-4))"}

展开“（7-（5-4））”的方括号，得到“7-5+4”，因此这对应于分区{7,4}（正数）和{5}（负数）。这两个分区之间的总差值为6，与最终岩石的尺寸相同。（注意，这不是一个最佳分区或岩石撞击）

证明的另一个方向更容易：分区转化为岩石撞击

如果将分区分为两组a和B，则取a中的一个元素a和B中的一个元素B，如果a>=B，则将a替换为a-B，并将B从B中移除。否则，将a从a中移除，并将B替换为“B-a”。这可以重复，直到只剩下一个元素。请注意，此过程保留sum（A）-sum（B），即分区差。还要注意的是，这正好对应于导致分区差（绝对值）的岩石撞击

这表明，我们可以将具有和差d的分区与岩石撞击相匹配，从而得到尺寸为d的岩石

因此，我们可以解决任一问题以找到最优结果，并且我们可以将特定的解决方案转化为另一个问题的解决方案

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这并不是一个完整的证据，但希望能给你一个指导。

我得到了这个。什么是正式的证明，是通过归纳法吗？你可以用归纳法来完成证明，是的。我需要研究的归纳法陈述的结构是什么？