Algorithm O（n log n）时间复杂度

我这里有一个简短的计划：

Given any n:
i = 0;
while (i < n) {
   k = 2;
   while (k < n) {
        sum += a[j] * b[k]
        k = k * k;
   }
   i++;
}

给定任意n：
i=0；
而（i

---

它的渐近运行时间是O（n logn）。为什么会这样？我知道整个程序至少会运行n次。但我不知道如何找到logn。内环取决于k*k，所以它显然小于n。如果每次都是k/2，那么它就是n logn。但是您如何计算出log n的答案呢？

对于数学证明，内部循环可以写成：

T(n) = T(sqrt(n)) + 1

w.l.o.g assume 2 ^ 2 ^ (t-1)<= n <= 2 ^ (2 ^ t)=>
we know  2^2^t = 2^2^(t-1) * 2^2^(t-1)
T(2^2^t) = T(2^2^(t-1)) + 1=T(2^2^(t-2)) + 2 =....= T(2^2^0) + t =>
T(2^2^(t-1)) <= T(n) <= T(2^2^t) = T(2^2^0) + log log 2^2^t = O(1) + loglogn

==> O(1) + (loglogn) - 1 <= T(n) <= O(1) + loglog(n) => T(n) = Teta(loglogn).

T（n）=T（sqrt（n））+1
w、 l.o.g假设2^2^（t-1）
T（2^2^（T-1））如果循环变量以指数方式减少/增加常量，则循环的时间复杂度为O（logn）。如果循环变量除以/乘以常量，则复杂度为O（Logn）

在你的例子中，k的值如下。括号中的i表示循环执行的次数

 2 (0) , 2^2 (1), 2^4 (2), 2^8 (3), 2^16(4), 2^32 (5) , 2^ 64 (6) ...... till n (k) is reached. 
The value of k here will be O(log log n) which is the number of times the loop has executed.

为了便于假设，让我们假设
n
是
2^64
。现在
log（2^64）=64
和
log 64=log（2^6）=6。因此，当
n
为
2^64
时，程序运行
6次
 我认为如果代码是这样的，它应该是n*logn

i = 0;
while (i < n) {
    k = 2;
    while (k < n) {
        sum += a[j] * b[k]
        k *= c;// c is a constant bigger than 1 and less than k;
    }
i++;
}

i=0；
而（i
@Tymek，我更新了答案，希望这有帮助，但要小心，内环不是sqrt（n）+1，我证明了内环是
log log n
，我在内环中说我们有
T（n）=T（sqrt（n））+1
。要更详细地解释为什么，这里有一个问题需要寻找：